具有时滞的脉冲Rayleigh型方程的周期解
开篇：润墨网以专业的文秘视角，为您筛选了一篇具有时滞的脉冲Rayleigh型方程的周期解范文，如需获取更多写作素材，在线客服老师一对一协助。欢迎您的阅读与分享！
摘 要 讨论了一类具有时滞的Rayleigh型微分方程在脉冲扰动下周期解的存在性.通过将所考虑问题转换成相应的算子方程，得到了解的先验估计，然后利用Mawhin重合度理论，在脉冲项是有界的条件下，得到了该微分方程至少存在一个周期解.所得结果即使对相应的非脉冲rayleigh型方程也是新的.
关键词 Rayleigh型方程；重合度；周期解；脉冲时滞
中图分类号 O17512 文献标识码 A 文章编号 10002537（2012）05000108
Rayleigh型方程x″（t）+f（x′（t））+g（x（t-τ（t）））=p（t）=p（t+T）因具有广泛的应用背景，人们对其周期解的存在性问题一直怀着强烈的兴趣，现已有大量的研究结果［18］.但具有时滞的脉冲Rayleigh型方程在这方面的研究较少见.本文利用拓扑度理论证明了如下脉冲Rayleigh型方程
x″（t）+f（x′（t））+g（x（t-τ（t）））=p（t），t≠ti，
Δx（ti）=Ii（x（ti），x′（ti）），
Δx′（ti）=Ji（x（ti），x′（ti）），
（1）
至少存在一个周期解，其中g，p，τ，Ii，Ji分别关于各自的变元在R上连续，且p（t），τ（t）皆为T周期的函数，并且f（0）=0和∫T0p（s）ds=0；Δx（ti）=x（t+i）-x（t-i），x（t-i），x（t+i）分别表示x（t）在t=ti处的左右极限，且x（t-i）=x（ti）；Δx′（ti）=x′（t+i）-x′（t-i），x′（t-i），x′（t+i）分别表示x（t）在t=ti处的左右导数，且x′（t-i）=x′（ti）；ti＜ti+1，且limi±∞ti=±∞，i∈Z；存在正整数q使得ti+q=ti+T，Ii+q（x，x′）=Ii（x，x′），Ji+q（x，x′）=Ji（x，x′），设0＜t1＜t2＜…＜tk＜T.
为了方便，以下记Ii（x（ti），x′（ti））为Ii，Ji（x（ti），x′（ti））为Ji.
设X={x（t）∈PC′（R，R），x（t+T）=x（t）}，Y=PC（R，R）×Rk×Rk，其中PC（R，R）={x：RR在t≠ti处连续，x（t+i），x（t-i）存在，且x（t-i）=x（ti），i∈Z}，PC′（R，R）={x∈PC（R，R）在t≠ti处连续可微，x′（t+i），x′（t-i）存在，x′（t-i）=x′（ti），i∈Z}.对一切x∈X，定义其范数为xX=max{x∞，x′∞}，其中x∞=supt∈［0，T］x（t），x′∞=supt∈［0，T］x′（t），对一切u=（y，c）∈Y，定义其范数uY=max{y∞，c}，其中c=（c1，…，c2k），c=max1≤i≤2k{ci}，则X，Y在所定义的范数下成为Banach空间.相关脉冲理论文献请参考［9～13］.
本文将使用Mawhin连续定理［6］建立方程（1）周期解的存在性结果，对非脉冲Rayleigh型方程也是［7］的推广和改进.
参考文献：
［1］ SERRA E. Periodic solutions for some nonlinear differential equations of neutral type［J］. Nonlinear Anal：TMA， 1991，17（2）：139151.
［2］ LU S P， GE W G. Periodic solutions to neutral differential equation with deviating argument［J］. Appl Math Comput， 2004，152（1）：1727.
［3］ LI J W， CHENG S S. Periodic solutions of a second order forced sublinear differential equation with delay［J］. Appl Math Lett， 2005，18（12）：13731380.
［4］ LU S P， GE W G， ZHENG Z X. Periodic solutions for a kind of Rayleigh equation with a deviating argument［J］. Appl Math Lett， 2004，17（4）：443449.
［5］ 鲁世平，葛渭高，郑祖麻.具偏差变元的Rayleigh方程周期解问题［J］.数学学报， 2004，47（2）：299304.
［6］ GAINES R E， MAWHIN J. Coincidence degree and nonlinear differential equation， Lecture Notes in Math［M］. New York： SpringerVerlag， 1977.
［7］ WANG G G， CHENG S S. A priori bounds for periodic soutions of a delay Rayleigh equation［J］. Appl Math Lett， 1999，12（3）：4144.
［8］ LU S P， GE W G. Some new results on the existence of periodic solutions to a kind of Rayleigh equation with a deviating argument［J］. Nonlinear Anal：TMA， 2004，56（4）：501514.
［9］ LAKSHMIKANTHAM V， BAINOV D D. Theory of impusive differential equations［M］.Singapore： World Scientific， 1989.
［10］ SAMOILENKL A M， PERESTYUK N A. Impulsive differential equations［M］. Singapore： World Scientific， 1995.
［11］ NIETO J J. Periodic boundary value problems for firstorder impulsive ordinary differential equations［J］. Nonlinear Anal：TMA， 2002，51（2）：12231232.
［12］ DING W， HAN M， Periodic boundary value problems for the second order impulsive functioanl differential equations［J］. Comput Math Appl， 2005，50（3）：491507.
［13］ 王 莉.一类脉冲周期边值问题多个正解的存在性［J］.湖南师范大学自然科学学报， 2011，34（1）：1922.