重视数学实验的解题的几个技巧
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谈到做实验,容易联想到物理实验、化学实验、生物实验等;谈到学数学,自然会联想到做数学题.题海战术几乎成为数学学科的代名词,难道做数学也可以做实验?
我们不妨先看一道中考题:
例1如图1,在平面直角坐标系xOy中,边长为a(a为大于0的常数)的正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点P,顶点A在x轴正半轴上运动,顶点B在y轴正半轴上运动(x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O),顶点C,D都在第一象限.
(1)当∠BAO=45°时,求点P的坐标.
(2)求证:无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动,点P都在∠AOB的平分线上.
(3)设点P到x轴的距离为h,试确定h的取值范围,并说明理由.
(1)(2)小题比较简单,略去.
如上即是用数学实验的方法解决了这道题.实际上,画个草图,通过观察法就能确定线段的取值范围.该方法形象直观,是解决动态问题的好方法.
数学课程标准指出:“学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的,这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动.”
数学实验是为了探索数学知识、检验数学结论(或假设)而进行的某种操作或思维活动,可以使学生逐步学会数学思维的物质实践方法,掌握数学研究的规律,培养理性思考问题的习惯,能够解决学科的和实际生活的问题,并检验和论证问题的结果.这是新课标所倡导的数学素养和数学的人文价值所在!因此,应当重视数学实验的解题功能.
一、用数学实验解决一般与特殊的关系
有的人片面地认为数学抽象、枯燥无味.其实,正是数学的抽象才带来其应用的广泛性.数学主要研究一般规律,我们不可用特殊来代替一般.另一方面,特例或举例却是我们常用的探索方法,用特例可以一个结论,用举例也能解题.
例2 如图7,在菱形ABCD中,∠B=60°,点E,F分别从点B,D出发以同样的速度沿边BC,DC向点C运动.给出以下四个结论:①AE=AF;②∠CEF=∠CFE;③当点E,F分别为边BC,DC的中点时,AEF是等边三角形;④当点E,F分别为边BC,DC的中点时,AEF的面积最大.上述结论中正确的序号有_________.
分析 ①②③易证是正确的.我们通过实验的方法来解决问题④.通过实验的方法,发现当E,F两点没有运动时,AEF的面积为菱形面积的一半,当E,F分别为边BC,DC的中点时,AEF的面积应是菱形面积的一半减去CEF的面积,所以,在E,F两点运动到中点的过程中,AEF的面积逐渐减小,故结论④错误.这时还应通过建立函数关系式的方法来证明这个结论是错误的.
学生在解决动点问题时,经常会因找不到突破口而困惑,此时可以引导学生通过做数学实验获得解题途径.本题通过实验,不仅简洁解决了问题,重要的是引导学生进行观察、分析、猜想、推证等一系列思维活动,不断探索,主动建构了新知,体现了新课标强调学生对新知识的探求和创新的理念.重要的是“观察—猜想—验证—证明”,这正是数学家思维活动的浓缩.因此,在数学教学中应重视非逻辑证明的教学;适当降低和减少逻辑演绎在数学教学中的地位与时间,加强实验、猜测、类比、归纳等合情推理在数学教学中的地位与作用.
二、用数学实验解决精确与毛估的关系
毛估是一种快速的近似估算,它的基本特点是对数值作扩大或缩小,从而对运算结果确定出一个范围或作出一个估计,更本质地看毛估,它应该是一种数学实验,是直觉基础上的一种数学意识.数学要求精确,但毛估有时还真能解决问题.
分析 直接计算很繁,若通过实验—放缩法,可估算出S的取值范围,问题就迎刃而解了.
毛估这种数学实验通过具体性、经验性的实验操作活动,能不断地丰富学生的思维表象,促进学生思维由形象直观到抽象论证的转化,促进学生合情推理和演绎推理的和谐发展,培养学生的创造性思维和实践能力.
三、用数学实验探究解题思路
学生在解决运动问题时,可以引导学生通过几何画板做数学实验获得解题途径.
例5 如图8,一个长为10米的梯子沿着墙壁滑动,梯子中点经过的路径有多长?
对于此题,学生的难点在于判断中点的轨迹是什么图形.可通过多画几个位置,描出中点找到规律.但利用几何画板构造图形,用跟踪点的研究就更直观.通过实验,学生可以得到其轨迹是以点C为圆心,梯子的一半长为半径的圆,根据弧长公式,可以得出,梯子中点经过的路径是2.5π.
当然,在画板操作后,还应该问学生为什么,达到通过数学实验促进学生抽象思维发展的目的.因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,即这些点到点C的距离为AB的一半,所以梯子中点经过的路径是半径为5米的四分之一圆.
数学实验一般具有可操作性和实践性,注重实测与直观,让数学在“实验”的过程中对所研究的内容“可视化”,让学生从中获得对“数”“形”的观念,并逐步对其适度抽象,进行更高层次上的“再实验”,进而体会数学的研究方法和构成体系,使学生在活动中认识并改造自己的数学知识结构.
四、用数学实验画图解决问题
图,是独特的数学工具.我们常见“看图识字”“看图学……”,英文版“数学杂志”就常有“无字证明”(Proof without Words)这一精彩栏目.法国数学家彭加勒说过:“逻辑可以告诉我们走这条路或那条路保证不遇见障碍,但是它不能告诉我们哪条路能引导我们到达目的地.为此必须从远处了望目标,了望目标的本领是直觉,没有直觉,数学家便会像这样一个作家:他只是按语法写诗,但是毫无思想.”
例6 方程|x-|2x+1||=3的不同的解的个数是()
A.0 B.1 C.2 D.3 E.4
分析 笔者所见分类讨论法较复杂.原方程可化成x-|2x+1|=3①或x-|2x+1|=-3②.由①得|2x+1|=x-3,由图9知,无解;由②得|2x+1|=x+3,由图10知,有两解,故选C.
例7 在一条直线上已知四个不同的点依次是A,B,C,D,那么到这四点的距离的和最小的点()
A.可以是直线外某一点
B.只能是B点或C点
C.只能是线段AD的中点
D.有无穷多个
分析 用计算的方法可解,但比较麻烦,如图11,我们做如下实验.首先点不会在直线AD外,由于对称性,只需考虑三种情况:点在A的左边;点在A,B两点之间;点在B,C两点之间(含端点).哪种情况下,四条有箭头的线段长的和最小呢?答案是D.
《基础教育课程改革纲要(试行)》把“以学生发展为本”作为新课程的基本理念,提出“改变过于强调接受学习、死记硬背、机械训练的现状,倡导学生主动参与、乐于研究、勤于动手”.通过画图,学生动手、动脑、猜测、验证,把自己置身于感性、动态的学习环境中,学生在动手实验、自主探究的过程中,体验数学发现和创造的过程、体验数学的研究精神,获得愉悦的数学学习体验,当然,画图这种数学实验,不在乎“实验”是否完全符合一般科学实验形式的标准,重要的是两者之间本质的相通.创新思维来 自于创新意识,创新意识来源于创新的实践,实践的创新需要实践空间的拓展.画图这种数学实验正是数学实践空间拓展的一种重要形式.
随着现代科技的发展,计算机进入课堂,教学手段呈现出多样化、现代化、多媒体化,数学实验解题的功能也更加丰富起来,教育者也越来越认识到数学实验解题的重要性,因此,数学已经成为一门更具探索性、动态性的实验学科,而中学数学实验的解题功能也将更全面地体现出来.