“简洁、基础、本质、创新”是高考数学北京卷的鲜明特色

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多年来，高考数学北京卷一直坚持“简洁、基础、本质、创新”的风格：试题及其答案简洁；注重对数学基础知识、基本技能的全面考查；尤其注重对数学本质的考查，一般不会有过多的繁杂的计算；试题背景新颖、内涵丰富、亮点纷呈、解法灵活、思维深刻、锐意创新.

下面以2016年高考数学北京理科卷和文科卷为例，谈谈其“北京特色”.1“简洁、基础、本质、创新”是试卷的鲜明特色

1.1部分试题呈现

文科第7题已知A2，5，B4，1.若点Px，y在线段AB上，则2x-y的最大值为（）.

A.-1B.3C.7D.8

文科第9题已知向量a=1，3，b=3，1，则a与b夹角的大小为.

文科第10题函数f（x）=xx-1x≥2的最大值为.

文科第16题已知函数f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωxω>0的最小正周期为π.

（1）求ω的值；

（2）求f（x）的单调递增区间.

文科第20题设函数f（x）=x3+ax2+bx+c.

（1）求曲线y=f（x）在点0，f0处的切线方程；

（2）设a=b=4，若函数f（x）有三个不同零点，求c的取值范围；

（3）求证：a2-3b>0是f（x）有三个不同零点的必要而不充分条件.

理科第2题若x，y满足2x-y≤0，

x+y≤3，

x≥0，则2x+y的最大值为（）.

A.0B.3C.4D.5

理科第12题已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和，若a1=6，a3+a5=0，则S6=.

理科第15题在ABC中，a2+c2=b2+2ac.

（1）求∠B的大小；

（2）求2cosA+cosC的最大值.

理科第18题设函数f（x）=xea-x+bx，曲线y=f（x）在点2，f2处的切线方程为y=e-1x+4.

（1）求a，b的值；

（2）求f（x）的单调区间.

1.2填空题答案呈现

文科：9.π6.102.11.32.121，2.131.14.①16；②29.

理科：9.-1.1060.112.126.132.14.①2；②（-∞，-1）.

1.3特色阐述

从以上列举的试题来看，题目简洁，不少选择题、填空题都是句中没有任何标点符号的一句话，比如文科第2，5，10题；不少解答题的设问也是句中没有任何标点符号的一句话，比如文科第15（1），16（1），16（2）题，理科第15（1），15（2），18（2）题；不少解答题的设问都不超过10个字符，比如文科第15（1）题“求{an}的通项公式”，第16（1）题“求ω的值”，理科第15（1）题“求∠B的大小”，理科第18（1）题“求a，b的值”，理科第18（2）题“求f（x）的单调区间”.

在2016年高考数学北京卷中，文科第2，4～7，10，11，19，20题及理科第1～3，5，10，12～14，20题（题数占45%）只涉及到以下10个数据：

-2，-1，0，1，2，3，4，5，6，12

并且理科第4题（平面向量）及文科第18题（立体几何）题中不涉及数字（且它们的解答均不涉及计算），理科第8题中只出现了文字数量“一半”“三个”“两个”“一个”.

所有填空题的答案均很简洁，并且有两空填“1”、五空填“2”.

在题目及答案中的这些数据都是命题专家精心雕琢的结果，体现了数学的简洁美！

高考数学北京卷注重基础是不争的事实，但考查基础的同时又注重了对数学学科本质的考查，比如文科第4题及理科第5题都是对基本初等函数单调性的考查、文科第6题是对古典概型求法的考查、文科第20题是对导数及其综合应用的考查、理科第2题是对线性规划的考查（以前多考含参数的线性规划问题，就不是考查本质）、理科第12题是对等差数列基本量的考查.

高考数学北京卷，貌似真水无香，但实质上也是创新成分多，这不仅仅表现在选择题、填空题和解答题的压轴题上，有很多题都是背景新颖、内涵丰富、解法灵活、平中见奇、思维深刻（详见后文的论述）.2部分试题的别解

文科第2题别解A.1+2i2-i=2i-i22-i=i（2-i）2-i=i.

注本题的常规解法是分子、分母同乘以分母的共轭复数进行分母实数化，而以上解法是逆用“i2=-1”通过约分进行分母实数.前者是通性通法，但后者也是通性通法并非“雕虫小技”，且“i2=-1”是复数运算的本质.这样看来，前者的解法却充满“技巧”，后者只是使用第一个发现者的“专利”而已.

文科第7题别解C.本题的常规解法是“减元”（先得线段AB的方程是y=9-2x（2≤x≤4）），但也可用线性规划知识求解.

文科第9题别解π6.如图1所示，先在平面直角坐标系xOy中作出向量a=OA与b=OB，再作ACx轴，BDx轴，垂足分别为C，D.在RtAOC，RtBOD中可得∠AOC=π3，∠BOD=π6，所以a与b夹角的大小为∠AOB=∠AOC-∠BOD=π3-π6=π6.

注别解方法只用到向量夹角的概念，概念就是本质！

文科第19题已知椭圆C：x2a2+y2b2=1过点A2，0，B0，1两点.

（1）求椭圆C的方程及离心率；

（2）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值.

别解先作出本题的图形如图2所示：

（1）椭圆C的方程是x24+y2=1，离心率是32.

（2）可设P（2cosθ，sinθ）π

再由凸四边形ABNM的对角线互相垂直，可得

S四边形ABNM=12AN・BM=122-2cosθ1-sinθ1-sinθ1-cosθ

=（sinθ+cosθ-1）2（1-sinθ）（1-cosθ）=2-2sinθ-2cosθ+2sinθcosθ1-sinθ-cosθ+sinθcosθ=2.

所以四边形ABNM的面积为定值.

注同第（2）问的解法，还可证得以下结论：

若点P在椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0上，椭圆C的右顶点、上顶点分别是A，B，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N则AN・BM=2ab.

理科第19题与本题实质相同，是一对姊妹题.

理科第2题别解C.因为2x+y=13（2x-y）+43（x+y）≤13・0+43・3=4，所以当且仅当2x-y=0，

x+y=3，即（x，y）=（1，2）（满足x≥0）时，（2x+y）max=4.

理科第6题某三棱锥的三视图如图3所示，则该三棱锥的体积为（）.

A.16B.13C.12D.1

别解A.如图4所示，题中的三棱锥即长、宽、高分别为2，1，1的长方体中的四面体ABCD，所以其体积为13SBCD・1=1312・1・1・1=16.

注若考生不认真审题，会误认为三棱锥的底面积就是俯视图的面积12（1+1）・1=1，而错选成B.

笔者在文献[1]中详述了以上解法：把几何体放置在长方体中来求解三视图问题是一种好方法.

理科第11题在极坐标系中，直线ρcosθ-3ρsinθ-1=0与圆ρ=2cosθ交于A，B两点，则AB=.

本题的常规解法是：先把极坐标系中的方程化成平面直角坐标系中的方程，再通过解方程组求出交点A，B的坐标后用两点的距离公式可求AB；或用垂径定理和勾股定理求解.

别解2.在平面直角坐标系中，题中的直线与圆的方程分别是x-3y-1=0，x2+y2=2x.

因为圆x2+y2=2x即（x-1）2+y2=1的圆心1，0在直线x-3y-1=0上，所以AB为此圆的直径，得AB=2.

理科第12题别解6.由a3+a5=0，可得a3+a5=a2+a6=a4+a4=0，a4=0，所以

S6=a1+（a2+a6）+a4+（a3+a5）=a1=6

注由理科11，12题，我们可以看出它们貌似真水无香，但实质上也是创新成分多：解法灵活、平中见奇、思维深刻.3部分创新题的解法

文科第8题某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.

在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则（）.

A.2号学生进入30秒跳绳决赛B.5号学生进入30秒跳绳决赛

C.8号学生进入30秒跳绳决赛D.9号学生进入30秒跳绳决赛

解B.由题意知，进入立定跳远决赛的8人是1号到8号，又同时进入立定跳远决赛

和30秒跳绳决赛的有6人，所以1号到8号中仅有2人30秒跳绳没有进入决赛.

假设30秒跳绳63次没有进入决赛，则必有1号、4号、5号这3人没有进入决赛.

前后矛盾！所以30秒跳绳63次必进入决赛，选B.

理科第8题袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（）.

A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多

C.乙盒中红球不多于丙盒中红球D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多

解法1B.设袋中的红球、黑球各n（n∈N*）个，最后甲盒中的红球、黑球个数分别是x1，y1；乙盒中的红球、黑球个数分别是x2，y2；丙盒中的红球、黑球个数分别是x3，y3.

因为“每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒”，所以

x1+y1=n，x2+y2+x3+y3=n

x2+y2=x1①

x3+y3=y1②

还可得三个盒子中红球、黑球的总个数都是n，即

x1+x2+x3=n③

y1+y2+y3=n④

①-②+③-④，可得x2=y3，即乙盒中红球与丙盒中黑球一样多.

解法2B.从袋中取两个球往盒子中放共有4种情形：

①取出的是两个红球，得乙盒中红球数增加1个；

②取出的是两个黑球，得丙盒中黑球数增加1个；

③取出的是一个红球和一个黑球且红球放入甲盒中，得乙盒中黑球数增加1个；

④取出的是一个红球和一个黑球且黑球放入甲盒中，得丙盒中红球数增加1个.

因为红球和黑球个数一样，所以①和②的情形一样多，③和④的情形随机出现.

③和④对选项B中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数无影响.

①和②出现的次数是一样的，所以对选项B中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数的影响次数一样.

综上所述可得，本题选B.

注文科、理科第8题（还包括文科第18题）对考生的阅读能力考查较深，源于生活.复习备考时，若只埋头于“题海战术”而不注重于数学素养的提高，对于此类问题就毫无办法.

文科第14题某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店

①第一天售出但第二天未售出的商品有种；

②这三天售出的商品最少有种.

14.①16；②29.

解如图5所示，区域Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ分别表示只在第一天、第二天、第三天售出的商品种类；区域Ⅳ，Ⅴ，Ⅵ分别表示在第一天与第二天、第二天与第三天、第一天与第三天售出的商品种类；区域Ⅶ表示在三天都售出的商品种类.

第②问：可得这三天售出的商品种数为19+13+18-（3+4+x6+x7）+x7=43-x6，

由③⑤可得x3+x6=14≥x6，所以这三天售出的商品种数43-x6≥43-14=29.

进而还可得，当且仅当

（x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7）=（2，6，0，3，4，14，0），（2，7，0，2，3，14，1），

（2，8，0，1，2，14，2），或（2，9，0，0，1，14，3）

时，这三天售出的商品总数取到最小值29.

注本题第②问的背景是容斥原理.

理科第14题设函数f（x）=x3-3x，x≤a，

-2x，x>a.

（1）若a=0，则f（x）的最大值为；

（2）若f（x）无最大值，则实数a的取值范围是.

解（1）2；（2）（-∞，-1）.

设函数y=x3-3x（x∈R），得y′=3（x+1）（x-1），所以函数y在（-∞，-1），（1，+∞）上均是增函数，在（-1，1）上是减函数，当且仅当x=-1时y极大值=2，当且仅当x=1时y极小值=-2.

从而可作出函数y=x3-3x（x∈R）及y=-2x（x∈R）的图象如图6所示：

由图6可得两问的答案：

（1）f（x）max=f-1=2.

（2）当aa时无最大值，且-2a>（x3-3x）max，得此时f（x）无最大值.当-1≤a

注本题的解法就是数形结合与分类讨论.

理科第16题A，B，C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）；

（1）（2）略.

（3）再从A，B，C三个班中各随机抽取一名学生，他们在该周的锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小时），这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记μ1，表格中数据的平均数记为μ0，试判断μ0和μ1的大小.（结论不要求证明）

解（3）μ0>μ1.因为在表中容易看出A班，B班，C班所给数据的平均数分别是7，9，8.25，所以表格中数据的平均数为μ0=5×7+7×9+8×8.255+7+8=16420=8.2.

而新加的三个数据7，9，8.25的平均数约为8.08，比μ0小，所以μ0>μ1.

注“（结论不要求证明）”一直是近几年高考数学北京卷的又一特色，从表面上来看貌似减轻了考生的书写负担、对表达能力要求极低，而实际上对考生的判断能力（包括合情推理、逻辑推理）、数学素养要求却很高，甚至高到没有上限.4高考复习备考建议

关于高三复习备考，笔者在文献[2―4]中已阐述了一些有益的建议；关于数学教学，笔者在文献[5―9]中也作了较为详尽的论述.读者研读它们后，可能会有所裨益.下面再强调五点：

（1）第一轮复习要夯实基础.

当前高中教学的流行做法是，两年结束新课，一年全面复习.但在高一、高二学习数学新课时，确实有因教学内容多、进度快而使学生没有掌握好基础知识的可能不在少数，所以在第一轮复习时要弥补这些不足，要注重基础，逐步提高学生的解题能力，开始的题目不能过难，要增强学生的自信心，不要出现从一开始班上就有几个学生决定放弃学数学的情形，而应出现从一开始班上就有不少学生因上新课时没有学好而通过第一轮复习对数学越来越有信心了.也就是说，第一轮复习时，还是要注重培养学生的兴趣和自信心.

给学生布置作业时，要注意习题的难易顺序.一般来说，对于某一知识，简单题没做好，难题一定做不好；若难题已经做好了，简单题就不必再做了.所以应当先做简单题，再做难题，最后做综合题.老师的教学（包括解题教学），不可“深一脚浅一脚”，这样会导致“学生很怕数学”.

（2）要注重回归课本，不要过多地依赖于教辅资料，更不能迷恋于题海战术.

高三师生不能只顾忙于做题：做、讲（听）完一本资料又一本资料，这样才放心.实际上，这是最低效的高三复习备考，也会使高三老师变得越来越懒惰，越来越没有创造力，越来越平庸！老师应当根据复习内容重新备知识点备学生、精心选题（高考题、模拟题也不一定适合当前的复习，应有一定数量的课本改编题和原创题，可鼓励学生参与原创题的编拟），提高复习备考效率，不要做无用功甚至是反效的事.

另外，老师在选题讲题时要注重通性通法和概念教学，淡化特技.对于难题要多钻研，尽量找到思路自然的解法，不要过多地依赖于参考答案，别让参考答案禁锢了解题者的思维[10].

（3）复习备考要让学生感到心里有底，这是高效复习和减轻学生学习负担的重要途径之一和必由之路.

怎样的复习可以使学生感到心里有底呢？关键在老师，老师要能把解法、思想、技巧讲清楚、说明白，决不可把参考答案照本宣科（老师做题不看答案是替学生着想的表现，讲解才可能自然），老师要多做研究，尽量使你的解法能适合一类题目，学生才可能感到心里有底.

比如，对于数列求和的错位相减法，如何复习，按照文献[11]的复习就可使学生感到心里有底.

（4）注重主干知识、聚焦核心考点、重视高频考点.

我们要清楚，在每份高考试卷中绝大部分题都很基础，所以在复习备考时要特别重视高频考点，不要把高三复习备考变成了竞赛辅导.到了高三后期，老师不要对学生做过多的统一讲解，应以个别答疑、辅导为主.

（5）高中数学教学永远要做好的四个关键词：夯实基础、激发兴趣、着眼高考、适当提高.

参考文献

[1]甘志国.把几何体放置在长方体中来求解三视图问题是一种好方法[J].数学教学，2015（12）：23-26

[2]甘志国.应对高考需要研究性备考――兼评2008年高考试题陕西卷（理科）压轴题[J].中学数学研究（广州），2009（5）：28-30

[3]甘志国.2011年湖北高考数学卷创新点预测[J].数学通讯，2011（3下）：45-50

[4]甘志国.为2010年的高考数学湖北卷叫好[J].数学通讯，2010（8下）：46-50

[5]甘志国.数学教学要注意有效性原则和可接受性原则[J].数学教学，2010（5）：8-9，封底

[6]甘志国.“思、探、练、变、提”的解题教学[J].中小学数学（高中）：2009（12）：7

[7]甘志国.数学教学更需要“慢教育”[J].中学数学月刊，2010（3）：22-23

[8]甘志国.教育者也要关注另一个1%――谈数学特困生的成长[J].中国数学教育（高中）2011（1～2）：16-19

[9]甘志国.利滚利、漂洗衣服与题海战术[J].中小学数学（高中）：2011（3）：8-10

[10]甘志国.别让参考答案禁锢了解题者的思维[J].数学教学研究，2012（7）：37-42

[11]甘志国.用裂项法和待定系数法求Sn是通法[J].中学数学研究（广州），2012（12）：29-33