“找次品”教学实录与反思

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案例描述：

数学是抽象的，生活是具体的，怎样的操作才是真正有效的呢？下面以“找次品”（人教版五年级数学下册第134页―135页例题1、 2）一课为例谈谈笔者对此的实践与反思。

一、相声引路，导入新课

师：（左手拿秤盘，右手敲着秤盘，走上讲台）同学们，我像老师吗？

生1：你不像老师，像个卖糖的。

生2：你不像老师，你像一个推销员。

生3：你不像老师，你像一个卖菜的。

……

师：哼！看来，我真的不像老师啊！那就算老师中的次品？可以了吧！（同学们哈哈哈地笑起来）

同学们，在工作中往往因为粗心或者质量等问题，使物品中混有比合格品“稍重一些”或“稍轻一些的物品”，这些 “稍重一些”或“稍轻一些的物品”就叫次品。这些混入的次品有的好找、有的不好找。但是无论怎样，我们都需要把它找出来，像这类问题，我们把它叫做“找次品”。这节课，我们就来当好一名“质检员”，利用天平秤来“找次品”。（板书课题：找次品）

二、实验操作，感知策略

1.对3瓶进行实验操作。

这里有3瓶木糖醇（出示三瓶木糖醇），其中一瓶被少装了两颗，怎样才能把少装了两颗的那瓶（次品）找出来呢？

生：（学生齐答）可以秤秤看。

师：谁来秤一秤，最少需要秤几次？

生：（边演示边说）一边一瓶，如果平衡，那么第3瓶就是少装的那瓶，如果不平衡，那么翘起来的那边就是少装的那瓶。

2.小组合作，对5瓶进行实验操作。

师：刚才是在3瓶中找次品，3瓶太少了，如果是5瓶中混有1瓶次品（这瓶的质量轻一些）是不是还称呢？至少称几次才能找到少装的那瓶次品？下面就以小组为单位，先确定称的方案，再动手操作。注意分工与合作，各个小组要安排好操作员、记录员。（各小组用准备好的5个圆片代替木糖醇，在简易天平上实验教师巡视指导）

3.汇报交流。

生1：我们组先把5个圆片编上号，把1号放到天平一边，再依次把其他圆片放到天平的另一边。当放到3号时，天平不平衡，翘起的一边就是次品，我们组秤了2次就找到了次品。

师：真是好运气！如果排在最后一个圆片5号是次品，秤2次能找到次品吗？

生：不能，要称4次。

师：对，用这种方案，要保证能找到次品，就要称4次。还有哪个组有不同方案吗？

生2：把5个圆片分成3组，两边各放2个，天平刚好平衡，说明剩下的一个是次品。（师板书：方案一：5（2，2，1）――平衡，秤1次）

生3：万一不平衡呢？

师：问得好！每称一次，我们都要考虑到平衡与不平衡两种情况。 如果不平衡，说明了什么？

生（齐答）：说明次品在翘起的2瓶中！

师：该怎么办呢？

生4：就把翘起的这两瓶分成两份，再秤，又翘起的那边就是次品。所以，秤2次就找出次品了。

师：用这种方案，要保证能找出次品，要称几次？

生（R答）：2次。

师（追问）：要保证一定能找到次品，为什么要称第2次？

生4：因为天平秤不平衡，就得再称一次，才能找到次品。所以，要保证一定能找到次品，至少要秤2次。

师：天平秤平衡时，是不是最终只要称1次就能保证找出次品呢？

生5：不是，那只是一种巧合。

……

其他小组又汇报出一些方案：

方案二：5（1，1，3）

方案三：5（1，1，1，1，1）-------（1，1）第1次

（1，1）------（1，1）第2次

师：以上称的方法至少需要称2次，而且以上三种方案的分组都分成几份？（三份）。为什么不分成（3，2）或（4，1）两份来称呢？谁来说以说理由。

生：两边称的瓶数不一样，不能区分出次品。

师：也就是说，两边称的瓶数不一样，称了也白称。

4.小结。

同学们真了不起！又学会了从5个物品中找出1个稍轻的次品，大家能想到这么多称的方案，老师真为你们感到骄傲！但老师要再次提醒同学们：每称一次，必须要从天平秤的平衡与不平衡两个角度来全面考虑，才能保证找到次品的次数最少哦！

三、深入探究，寻找策略

1.设计方案，简洁记录------对9瓶进行实验操作。

师：同学们刚才在3个和5个物品中找出次品，表现都很好！现在的活动更具有挑战性（出示例2：在9个零件里有1个是次品（次品重一些）至少要称几次？）。现在必须从9个物品中找到次品，至少要称几次？请大家动手试一试、想一想。设计出称的方案，并用文字或图示表示出来，要求要简洁易懂哦！

2.同桌交流。

3.汇报反馈（教师根据学生的汇报，板书如下）：

9（1，1，1，1，1，1，1，1，1），至少称4次；

9（2，2，2，2，1）――（2，2）平――（2，2）平，称第2次；

（2，2）平――（2，2）不平――（1，1），称第3次；

（2，2）不平――（1，1），称第2次；

9（4，4，1）――（4，4）不平――（2，2）――（1，1），称第3次；

（4，4）平，只称1次；

9（3，3，3）――（3，3）不平――（1，1），称第2次；

（3，3）平――（1，1），称第2次。

师：还有没有其他的办法？如果没有，一起看结果，哪一种最简便？

生：平均分成3份，每份分成3个的最简便。

师：是啊！你看：

师：照此下去，如果物品是3的倍数，均分成3份都最简吗？以18为例，大家试一试。

4.再次设计方案对18进行实验操作。

生：18（6，6，6）――6（3，3）――3（1，1，1），3次；

18（6，6，6）――6（2，2，2）――2（1，1），3次；

师：几次？是否真的最少？用笔、纸找找，看一看还有无更少的？

生：18（6，6，6）――6（3，3）――3（1，1），3次；

18（2，2，2，2，2，2，2，2，2），5次；

18（8，8，2），4次；

18（3，3，3，3，3，3，4次；

18（9，9）――9（3，3，3）――3（1，1，1），3次。

师：利用天平来“找次品”，有这么多的方案！在这些方案里，要保证能找到次品，有的要称3次，有的要秤4次……，为了更好观察比较什么样的方案更简单，我们把这些称的方案填在表里。大家找一找，哪种简单？为什么？

5.观察比较，总结策略。

（师生共同逐一填写下表）

（1）第三、四两列的优化策略。

师：请同学们仔细观察填表（只填倒数第二列），比较表中的数据，所测物“要称的最少次数”与“分成的份数”有什么关系？你有什么发现？（同桌讨论后汇报）

生1：我发现在两种所测物要称的最少次数中，都是平均分成了3份。

生2：我发现在两种所测物要称的最少次数中，平均分成了3份后，每份都是3的倍数。

生3：我还发现要想使称的次数最少，所测物一定要分成3份最好。

……

师：对！在9个所测物、18个所测物中，最优化的策略是把所测物平均分成3份。哪是为什么呢？我们来看表中9个所测物和18个所测物中的最后一列（教师指着各个方案的第二种方案讲解）。

师：在9个和18个所测物中，第一次称的时候，如果天平平衡，说明了什么？

生（齐答）：次品在剩下的几个中。

师：也就是天平上的3个（所测物是18个时是6个）零件都是正品，次品就锁定在剩下的3个（所测物是18个时是6个）中。这样称一次，就能排除6个零件（所测物是18个时是排除12个）。那么，如果天平不平衡呢？

生：次品在翘起的哪个秤盘中。

（2）第四、五列的优化策略。

师：我们接着把表填完。（只填第五列）观察表的最后这一列，观察“所测物的最少次数”与“排除所测物的个数”之间有着怎样的关系？你发现什么？

生1：每次排除的零件个数越多，所秤的次数就越少。

生2：我还发现每次排除的零件个数越少，所称的次数就越多。

生3：我还发现有的方案虽然没有平均分，但它也是分成了3份，这种方法可以排除的个数也比较多，称的次数也是最少的。

师：你这个发现很好，而且很重要！但是，它排除的零件个数最多吗？称的次数最少吗？

生：都不是。

师：对！那么，“所y物的最少次数”与“排除所测物的个数”以及“最优化方案”之间到底有着怎样的联系呢？

生（齐答）：每次排除的零件个数越多，所秤的次数就越少，每次排除的零件个数越少，所秤的次数就越多一次排除的个数越少。

师：是啊！每次对次品锁定的范围越大，则所需要称的次数就会越少。那么，我们要对物品进行怎么样的分组，才能使称的次数最少呢？这里有什么样的优化方案？

生1：平均分成3份的最简单、最优化的方法。

小结：你说得非常好。我们把最热烈的掌声送给他！以后，在解决“找次品”这类问题时，一定要把所测物品平均分成3份，那就是最优化的方法。但是，这种最优化的策略如果遇到物品个数不能平均分成3份的，我们该怎么办呢？

例如：8个零件中有一个稍重的次品，应怎样分呢？

生：分成3份：3，3，2。（教师板书）：8（3，3，2）

……

师：我们仍然要把它分成3份，每份的数量仍然尽可能相差最小。也就是说：这种情况，我们不能把所测物平均分成3份，但是每份物品的个数却很接近，像这种情况我们就叫它“尽量平均分”。以后，我们在找物品中的次品时，只要把物品平均分成3份，或尽量平均分成3份，使多的与少的一份只差1，就能用最少的次数保证找到次品，这就是找次品的最优策略。

师：通过刚才的探索，你又知道些什么？

四、巩固运用，深化策略（优化）

出示课件：

1.有10瓶水，其中有9瓶质量相同，另有一瓶是盐水，比其他的水略重一些，至少称几次能保证找出这瓶盐水？称2次有可能找出来吗？

2.有15盒饼干，其中的14盒质量相同，另有1盒少了几块，如果用天平称，至少称几次可以找出这盒饼干？

3.在12个零件里有1个是次品（次品重一些），用天平秤，至少称几次就一定能找出次品？

师：题中哪些是关键词？各是什么意思？

生1：“至少”就是最少的意思。

生2：用最少的次数保证找到盐水或者次品。

师：对！“至少”也就是要求我们用最优化的策略来称。这就要求我们在称的时候必须要全面考虑，即要考虑到天平秤平衡的情况，同时也要考虑到天平秤不平衡的情况。

师：个人单独尝试后到黑板上来与同学们分享你们的分法。

生1：分成3份，10（3，3，4）――3（1，1，1）（师板书）。

生2：也是分成3份，即：15（5，5，5）――5（2，2，1）（师板书）。

生3：仍然把它平均分成3份，12（4，4，4）――4（1，1，2）――2（1，1）（教师板书）。

师：现在就请同学们选择其中的一个问题，用优化的策略，简洁地说一说称的过程。

课后反思：

1.挖掘教学资源，让学生初步感知“找次品”策略的可操作性。

在日常生活中，虽说学生对“次品”这一概念并非一片空白，会从平时家长的一些谈话中有所耳闻，但都停留在字面的感觉上，并没有和数学产生联系。因此，我的课堂教学便从“次品老师”引入课题，并且对次品做详细的介绍，接着出示三瓶木糖醇中一瓶被少装了两颗，怎样才能找出少装了两颗的那瓶呢（也就是次品）？W生回答“可以称称看”在让学生操作实验、亲手称一称的过程中，学生感受到“3瓶木糖醇中有一瓶是次品、用秤称一称找次品的表象，建立了帮助学生形成初步的简单策略。

2.动手操作，让学生亲历“找次品”策略的多样性。

本节课采用的归纳法在本质上是一种不完全归纳法。本课首先从所测物是3的倍数中找次品，让学生经历解决问题多样性的数学分析模式，完善“找次品”的基本策略和方法。然后再逐步脱离具体的实物操作，让学生独立思考，采用图示、文字列表的方式进行抽象的分析，得出“找次品”的多种策略，实现了从具体到抽象的过渡，让学生进一步体会到解决问题策略的多样性。在这一过程中，无论是让学生“感知5瓶木糖醇中有一瓶是次品”，秤时策略的简单多样化，还是让学生“感知9瓶木糖醇中有一瓶是次品”“18瓶木糖醇中有一瓶是次品”，称时策略逐渐多样的各个环节，都为学生提供足够的动手操作、动脑思考、动眼观察、动口表达、动耳倾听的时间和空间，让学生亲历“找次品”策略的多样性，体验“找次品”策略多样性的形成过程，从而为学生后面总结规律优化策略奠定了厚实的基础。

3.总结规律，让学生深化“找次品”策略的最优化。

体会运用优化的思想解决问题的有效性，这也是本课的重要目标。为了达成这一目标，本课设计了两个大的问题来引导学生总结、探究规律。首先是请同学们仔细观察填表（只填倒数第二列）、比较表中第三、四两列数据之后提问：所测物“要称的最少次数”与“分成的份数”有什么关系？你有什么发现？学生的回答是“我发现在两种所测物要称的最少次数中，都是平均分成了3份”。然后再让学生接着把表填完。（只填第五列）观察表的第三、第五列，“所测物的最少次数”与“排除所测物的个数”之间有着怎样的关系？你发现什么？学生的回答是“每次排除的零件个数越多，所称的次数就越少”“我还发现每次排除的零件个数越少，所称的次数就越多”。

在列表比较的基础上，从“排除”与“锁定”的角度解释最优化策略，使学生探究并且得出“找次品”策略最优化的结论，从而使学生从感性认识深化为理性认识。紧接着再让学生经历由一般到特殊的数学分析模式，从而完善“所测物不是3的倍数”找次品的基本策略和方法，最后让学生巩固并运用优化策略解决问题。在学生总结与探究的过程中，始终在引导学生通过观察、思考、比较、总结、归纳等进行数学思考，可谓层层递进，而且体验数学问题始终坚持时时有挑战性、趣味性、探究性和有效性，这才是本课最重要的教学理念。