例析旋转变换

开篇：润墨网以专业的文秘视角，为您筛选了一篇例析旋转变换范文，如需获取更多写作素材，在线客服老师一对一协助。欢迎您的阅读与分享！

旋转变换有利于培养同学们的动手操作能力和空间想象能力，故在各地的中考试题中，出现了大量的与旋转变换有关的几何图形的证明和计算题.本文就旋转变换在中考试题中的应用情况加以说明.

一、旋转变换的知识

1.定义：在平面内，将一个图形绕着一个定点沿某个方向转动一个角度形成新的图形，这样的图形运动叫做图形的旋转，这个定点叫做旋转中心，图形转动的角叫做旋转角.

2. 旋转的三个基本要素：旋转中心、旋转方向、旋转角.

3. 基本特征：

一是图形上的每个点都按照相同的方式转动了相同的角度，即任意一对对应点与旋转中心连线所成的夹角都是旋转角，图形中每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度.

二是旋转中心在旋转的过程中始终保持不动，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等.

三是旋转不改变图形的大小和形状（即旋转前后的两个图形是全等图形），只是位置发生了变化.

二、旋转变换的应用技巧

有关旋转变换的常见题型有填空题、选择题、作图题、证明题等.常结合平移、轴对称、三角形相似（全等）、勾股定理、方程、函数等知识进行综合考查.解答这类试题，要求同学们具备扎实的数学基本功，较强的观察力，丰富的想象力及综合分析问题的能力.解题时，要切实把握几何图形的整体运动过程和图形变换前后的形状，并注意运动过程中图形的特殊位置， 弄清图形旋转前后哪些是不变的量、哪些是变化的量，在“动”中求“静”，在“静”中探求“动”的一般规律，寻找到问题中相等的角和线段，使问题得以解决.

三、应用举例

例1 （2011年安徽省中考题）在ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为？兹（0°

（1）如图1，当AB∥CB′时，设A′B′与CB相交于点D.证明：A′CD是等边三角形；

（2）如图2，连接A′A、B′B，设ACA′ 和BCB′ 的面积分别为SACA′ 和SBCB′. 求证：

SACA′ ∶ SBCB′ =1∶3.

（3）如图3，设AC的中点为E，A′B′的中点为P，AC=a，连接EP，当 ？兹= °时，EP长度最长，最大值为 .

分析：（1）由题知，∠A′=60°，故要证A′CD是等边三角形，可考虑证它是等腰三角形或再证它有一个角为60°.利用AB∥CB′，可得∠BCB′=∠B=30°，则∠A′CD=60°，可得A′CD

是等边三角形.

（2）由于∠BCB′=∠ACA′，且AC=A′C，BC=B′C，可知ACA′和BCB′是两个相似的等腰三角形，故SACA′ 和SBCB′之比可转化为ACA′和BCB′对应边AC与BC平方之比.

在三角形中，要判断线段的长短，可利用三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边的定理，故考虑连接CP，在ECP中，EP

说明：旋转变换具有如下性质：（1）旋转前后的图形全等；（2）对应点到旋转中心的距离

相等（旋转中心在对应点连线的垂直平分线上）；（3）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.中考对图形的旋转的基本要求是：（1）通过具体实例认识旋转，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质；（2）能够按要求作出简面图形旋转后的图形；（3）灵活运用轴对称、平移和旋转几种图形变换进行图案设计.本题正是充分利用了旋转角相等和旋转前后对应线段相等的性质来解决问题的.

例2 （2011年江苏南通市中考题）已知：如图4，O为正方形ABCD的中心，分别延长OA到点F，OD到点E，使OF=2OA，OE=2OD，连接EF，将FOE绕点O逆时针旋转α角得到F′OE′（如图5）.

（1）探究AE′与BF′的数量关系，并给予证明；

（2）当α=30°时，求证：AOE′为直角三角形.

分析：（1）要证AE′=BF′，可证明线段AE′和BF′所在的OAE′与OBF′全等，利用已知易知OA=OB，OE′=OF′，利用旋转知∠AOE′=∠BOF′，故OAE′≌OBF′，得到AE′=BF′.

（2）由于旋转角α=30°，可知∠AOE′=60°，且OE′=2OA，可考虑取OE′的中点M，得到AOM为等边三角形，AME′为等腰三角形且外角∠AMO等于60°，即得到∠E′AM=30°.从而∠E′AO=∠E′AM+∠MAO=30°+60°=90°，证得AOE′为直角三角形.

解：（1）AE′=BF′.

证明如下，如图5，在正方形ABCD中， ACBD，

∠F′OE′=∠AOD=∠AOB=90°，

即∠AOE′+∠AOF′=∠BOF′+∠AOF′，

∠AOE′=∠BOF′.

又OA=OB=OD，OE′=2OD，OF′=2OA，

OE′=OF′，

OAE′≌OBF′（SAS），

AE′=BF′.

（2）作AOE′的中线AM，如图6.

则OE′=2OM=2OD=2OA=2E′M，

OA=OM，

α=30°，

∠AOM=60°，

AOM为等边三角形，

MA=MO=ME′，∠AMO=60°.

又∠AE′M+∠E′AM=∠AMO，

即2∠AE′M=60°，∠AE′M=30°，

∠AE′M+∠AOE′=30°+60°=90°.

在AOE′中，由三角形内角和可得

∠E′AO=180°-（∠AE′M+∠AOE′）=90°，

AOE′为直角三角形.

说明：旋转图形只改变图形的位置，不改变图形的大小和形状.本题正是利用图形旋转的不变性，探索图形在旋转过程中的有关规律.问题的设置从简单到复杂，使同学们在解决问题的过程中逐渐认清问题的本质.