高考数学应用问题的命题方向与破解策略
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以实际问题为背景，通过建立数学模型来解决问题，考查数学应用意识和实践创新能力，已成为新课程高考命题的一个亮点.下面展望其命题方向和破解策略.
一、 命题方向分析
根据近几年应用问题考查特点、题型演化与发展走向，未来几年应用性试题的命制可能会有如下特点：（1） 问题设计入口宽敞、方法多样、层次清楚，具有明显的梯度；（2） 试题表述科学规范、语言简洁、长度适中，无需在读题上花费大量时间；（3） 考查的重点是基础知识、基本思想、核心方法，能在公平的背景下展示真实的水平. 以下几类应用问题将是高考命题的重点和热点.
1. 函数模型的应用问题
函数问题老生常谈，它可以和方程、不等式以及导数等知识有机地结合在一起，特别是将导数作为研究函数的有力工具运用到解决实际问题中去，使老树开出新花，这是应用问题备考中一个不可忽视的关注点.
图1
例1 某地政府为科技兴市，欲将如图1所示的一块不规则的非农业用地规划建成一个矩形高科技工业园区.已知曲边四边形ABCO，且AB=BC=2AO=4 km，曲线段OC是以点O为顶点且开口向右的抛物线的一段.如果要使矩形的相邻两边分别落在AB，BC上，且一个顶点落在曲线段OC上，问应如何规划才能使矩形工业园区的用地面积最大？并求出最大的用地面积（精确到0.1 km2）.
解析以O为原点，OA所在直线为y轴建立直角坐标系如图1，依题意可设抛物线方程为y2=2px（p＞0），可知C（4，2），易求得曲线段OC的方程为y2=x（0≤x≤4，y≥0）.
设P（y2，y）（0≤y＜2）是曲线段OC上的任意一点，则在矩形PQBN中，PQ=2+y，PN=4-y2，所以工业园区面积S=PQ・PN=（2+y）（4-y2）=-y3-2y2+4y+8，故S′=-3y2-4y+4．令S′=0，得y=23（舍去y=-2）.
当y∈0,23时，S′＞0，S是关于y的增函数；当y∈23,2时，S′＜0，S是关于y的减函数.
所以y=23时，S取到极大值，此时PQ=2+y=83，PN=4-y2=329，故S=83×329=25627≈9.5.又y=0时S=8，所以Smax=9.5（km2）.
所以把工业园区规划成长为329km，宽为83 km的矩形时，工业园区的面积最大，最大面积约为9.5 km2.
2. 数列模型的应用问题
以数列为载体、通过建立数列模型来解决实际问题，也是高考数学命题的重要内容.
例2 在金融危机中，某钢材公司积压了部分圆钢，经清理知共有2 009根.现将它们堆放成纵断面为等腰梯形（每一层的根数比上一层的根数多1），且不少于七层.
（1） 共有几种不同的方案？
（2） 已知每根圆钢的直径为10 cm，为考虑安全隐患，堆放高度不得高于4 m，则选择哪个方案，最能节省堆放场地？
解析（1） 当纵断面为等腰梯形时，设共堆放n层，从上到下每层圆钢的根数是以x为首项、1为公差的等差数列，从而nx+12n（n-1）=2 009，即n（2x+n-1）=2×2 009=2×7×7×41.因为n与2x+n-1的奇偶性也不同，且n＜2x+n-1，从而有n=7，2x+n-1=574，或n=14，2x+n-1=287，或n=41，2x+n-1=98，或n=49，2x+n-1=82，所以共有4种方案可供选择.
图2
（2） 因为层数越多，最下层堆放得越少，占地面积也越小，所以由（1）知若n=41，则x=29，说明最上层有29根圆钢，最下层有69根圆钢，此时如图2所示，腰长为400 cm，上、下底长分别为280 cm，680 cm，从而梯形之高为2003 cm，而2003+10+10＜400，所以符合条件.
若n=49，则x=17，说明最上层有17根圆钢，最下层有65根圆钢，此时如图2所示，腰长为480 cm，上、下底长分别为160 cm，640 cm，从而梯形之高为2403 cm，显然大于4 m，所以不符合条件，舍去.
综上所述，选择堆放41层这个方案，最能节省堆放场地.
3. 三角模型的应用问题
三角应用问题有可能异军突起，很可能将正弦定理、余弦定理、平面向量与三角函数等知识糅合在一起，一般难度不会太大，主要考查阅读理解、数学建模以及综合运用数学知识分析问题和解决实际问题的能力.
图3
例3 如图3，灌溉渠的横截面是等腰梯形，底宽2 m，斜坡的倾角为α0＜α＜π2，坡面的长度为x.
（1） 若倾角α=45°且灌溉渠的横截面面积大于5 m2，求x的最小正整数值；
（2） 若斜坡坡面的长度为2 m，则倾角α为何值时，灌溉渠的横截面面积最大？最大值是多少？
（解析略）
4. 概率模型的应用问题
概率统计应用问题仍将继续流行，但会“明显换脸”，有可能呈现出下列特点：一是问题背景将进一步聚集大量社会变革、国计民生乃至自然环保等热门话题；二是解决问题的手段及建立的数学模型会呈多元开放的发展态势，加大综合考查的力度，对此要有一个清醒的认识.
（例题略）
值得指出的是，现行高中数学教科书中突出体现了数学的广泛应用性，每个章节都有一定数量的实际应用问题，如水池、寄信邮资、细胞分裂、银行利息、钢板下料、钢管堆放、价格升降、等等，这些问题为“数学化”提供了丰富的素材和大量的实例，以这些教科书题为原型，进行加工改编成为高考试题，是高考数学应用问题命题的惯用方法.因此复习中要重视对教科书中应用问题的分析研究，努力挖掘其潜能，发挥其价值.
二、 难点破解策略
复习中怎样才能有效地突破数学应用问题这一难点，解答好应用问题，从而在高考中取得理想的成绩呢？
1. 要善于从图形和数表中采撷有用信息
应用问题的读题与审题，就是问题信息的提炼与整合的思维过程.图形和数表，具有直观形象的特点，可定量或定性地描述信息的状态和过程，沟通各种信息之间的联系，因此依托图形和表格处理数据、整合信息，是求解数学应用问题的常用策略之一.
例4 在车站开始检票时，有a（a＞0）名旅客在候车室排队等候进站.检票开始后，仍有旅客来排队进站.设旅客按固定的速度增加，检票口的检票速度也是固定的.若开放一个检票口，则需30 min才可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；若开放两个检票口，则只需10 min便可将排队等候检票的旅客全部检票完毕.如果要在5 min内将排队等候检票的旅客全部检票完毕，以使后来到站的旅客能随到随检，至少要同时开放几个检票口？
解析题目中涉及的检票方式有三种：一是开1个检票口，二是开2个检票口，三是开n个检票口.而每种检票方式涉及以下一些量：旅客原有人数，旅客增加速度，旅客增加人数，每个检票口的检票速度，检票旅客人数，检票时间. 不妨设旅客增加速度为x，每个检票口的检票速度为y，将上述分析的结果列成下表.
开放检票口的个数旅客原有人数旅客增加速度（人每分钟）旅客增加人数
1ax30x
2ax10x
nax5x
开放检票口的个数检票口的检票速度检票旅客人数检票时间（分钟）
1y30y30
2y2×10y10
nyn・5y5
由题意知a+30x=30y，a+10x=2×10y，a+5x≤n・5y，解之得n≥3.5（n∈N*）.
即至少需要开放4个检票口.
评注
本题的特点是涉及的数据多、变化因素多、数量关系隐蔽.将题中涉及的各个常量和变量置于一张表格内，使量与量之间的关系一目了然，有用的信息集中在一起，所需要的数学模型就脱颖而出了.
2. 要注意在数量关系中分析与寻求突破
通过寻找问题中关键词和关键量之间的数量关系，分析梳理出问题中所含有的各种信息，并用相应的数学符号表示出来，使涉及的各个相关量之间的关系明朗化，找到问题的突破口，建立解决问题的数学模型.
例5 有一座大桥既是交通拥挤地段，又是事故多发地段，为了保证安全，交通部门规定.大桥上的车距d（m）与车速v（km/h）和车长l（m）的关系满足d=kv2l+12l（k为正常数），假定车身长为4 m，且当车速为60（km/h）时，车距为2.66个车身长.
（1） 写出d关于v的函数关系式；
（2） 应规定怎样的车速，才能使大桥上每小时通过的车辆最多？
解析（1） 因为当v=60时，d=2.66l，所以k=2.66l-12l602l=2.16602=0.000 6，得d=0.002 4v2+2.
（2） 设每小时通过的车辆数为Q，则Q=1 000vd+4=1 000v0.002 4v2+6=1 0000.002 4v+6v.
因为0.002 4v+6v≥20.002 4v×6v=0.24，所以Q≤1 0000.24=12 5003，当且仅当0.002 4v=6v，即v=50时，“=”成立.
答：当v=50 km/h时，大桥每小时通过的车辆最多.
评注第（1）题很容易.难点是第（2）题，求解的关键就是抓住各个量之间的关系，通过有序分析，得出每小时通过的车辆数Q与速度v之间的关系，建立起这一实际问题的函数模型，将问题转化为求函数的最值来解决.可以说，整个解题过程就是一个在数量关系的分析中寻求突破的过程.
3. 要重视题目中文字语言的阅读与理解
解答数学应用问题首先要通过对问题的文字叙述的认真阅读，理解题意，捕捉信息，理顺关系，在此基础上，将文字语言转化为数学语言，再利用数学知识建立起相应的数学模型.可以说，阅读理解在很大程度上制约着应用问题的求解进程，加强对应用问题中文字语言的阅读理解训练是提高解决应用问题的能力的一个重要因素.
需要说明的是，不管运用什么方法，求解应用问题都要遵循以下步骤：
（1） 审清题意：抓住问题中的关键词，弄清问题的情景和变化过程，使问题数学化.
（2） 建立模型：注意问题涉及知识点或新概念、新原理，分析数量关系，运用数学符号语言、图象语言，建立问题的数学模型.
（3） 解决问题：根据数学模型，选择恰当的数学工具与方法，求得未知数或未知关系，获得问题的数学解.
（4） 检验作答：通过检验，选择符合实际的解，写出实际问题的答案.
只要我们在平时的学习和复习中，注意多接触社会，不断扩大自己的知识面，严格按照上述一般步骤进行规范化的训练，努力掌握求解数学应用问题的常用方法和基本规律，就一定能有效地提高解决数学应用问题的能力.
1 某公司在甲、乙两地销售同一品牌的商品，利润（单位：万元）分别为L1=5.06x－0.15x2，L2=2x（其中x为销售量）．若该公司在这两地共销售了15件该商品，则该公司可能够获得的最大利润是 万元．
图4
2 如图4所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P处变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后在点P处第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终在点P处第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行.若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，且给出下列式子：① a1+c1=a2+c2；② a1－c1=a2－c2；③ c1a2>a1c2；④ c1a1
3. 某人某日上午7时，乘摩托艇以匀速v n mile/h（4≤v≤20）从A港出发到距A港50 n mile的B港去，然后乘汽车以匀速w km/h（30≤w≤100）自B港出发向距B港300 km的C市去，要求在当天下午4至9点到达C市.设乘汽车、摩托艇所需的时间分别是x h，y h.
（1） 作图表示满足上述条件的x，y的取值范围；
（2） 如果已知所需的花费p=100+3（5-x）+2（8-y）（元），那么v，w分别是多少时走得最经济？此时需花费多少元？
图5
4. 如图5，某污水处理厂要在矩形污水处理池ABCD的池底水平铺设污水净化管道RtFHE（H是直角顶点）来处理污水，已知管道越长，污水净化效果越好.设计要求管道的接口H是AB的中点，E，F分别落在线段BC，AD上，已知AB=20m，AD=103m，记∠BHE=θ.
（1） 试将污水净化管道的长度L表示为θ的函数，并写出定义域；
（2） 若sinθ+cosθ=2,求L的值；
（3） 当 θ取何值时，污水净化的效果最好？并求出此时L的值.