光伏驱动傅科摆的计算机模拟
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【摘 要】傅科摆实验是无需依赖地球以外的物体，就能直观地展示地球自转的存在。简单阐述了傅科摆的力学原理――科里奥利力，并使用MATLAB软件对傅科摆的运动轨迹进行了计算机动态模拟，给出实验效果图，明确了不同轨道形态与初始条件之间的对应关系。而后以唐山地区的纬度为例，给出了同一纬度下不同初始条件下摆的相对运动轨迹。
【关键词】傅科摆；科里奥利力；动态模拟；相对运动轨迹
0 引言
法国物理学家傅科于1851年在巴黎万圣殿内的拱顶上悬挂了一个摆长67m，摆锤质量为28kg的单摆，该单摆摆动周期约为16s，实验发现该单摆平面绕竖直轴作顺时针转动（由上向下看），转动周期约为32h，这就是著名的傅科摆实验[1]。傅科摆实验无需依赖地球以外的物体，就能直观地展示地球自转的存在，因此至今仍受到重视。同时作为质点在非惯性坐标性中运动的实例，傅科摆的问题被许多力学教材所用。
多部教材对傅科摆在水平面内的相对运动轨迹都作了定性分析或数学推导，由于假定的初始条件不同，故结论也不同。傅科摆放置的位置不同，摆动情况也不同。
在北半球时，摆动平面顺时针转动；在南半球时，摆动平面逆时针转动，而且纬度越高，转动速度越快；在赤道上的摆几乎不转动。傅科摆摆动平面偏转的角度可用公式θ=15tsin？准来求，单位是度。式中？准代表当地地理纬度，t为偏转所用的时间，用小时作单位，因为地球自转角速度1小时等于15°，所以，为了换算，公式中乘以15。摆锤的运动可以分解为沿地轴方向的和与之垂直方向上的两个分运动。后者会产生相对地面的旋转。这两个分运动合成的结果是，从地面上的人看来，傅科摆以某种角速度缓慢的旋转――介于傅科摆在北极和赤道的角速度之间。
如果在北极的观测到傅科摆旋转一周的时间是A（A=24h），那么在任意纬度γ上，傅科摆旋转一周所需的时间是A/sinγ。实际上，由于受到各种阻力因素的影响，傅科摆是在做阻尼振动，阻力做功消耗了摆球的机械能，最终会使摆球停止[2-6]。
1 傅科摆的力学原理――科里奥利力[7]
傅科摆转动是因为受到了摆平面之外的偏转力，这是在地球这个非惯性系下运动的物体受到的一种惯性力，不同于惯性离心力，这就是科里奥利力。
科里奥利力或又简称为科氏力，是对旋转体系中进行直线运动的质点由于惯性相对于旋转体系产生的直线运动的偏移的一种描述。在地球上，相对于地球运动的物体会受到另外一种惯性力的作用。这种惯性力，以首先研究它的法国数学家科里奥利的名字命名，叫做科里奥利力它是一种惯性力，它是取不同参照系产生的一种差异，我们拿自己生活的地球为参照系就有了科里奥利力。宇宙中你到任何一个星球上，只要它自转，就会存在科里奥利力。
傅科摆的设计有着明确的目的，主要为教学使用，因此在模型的规模上有所要求，按照一定比例进行缩小。整个小型傅科摆主要分为悬挂部分及稳幅装置两部分。
悬挂部分：高1.8米宽0.6米。悬线是直径为0.3毫米长为1.4米的不锈钢丝。锤是直径为8厘米重1.8公斤的软铁球（考虑安全因素）。悬线的两端均用小型钻头夹夹住，上面固定在顶板上，下面与软铁球相连。软铁球底部插一尖针（吸附电磁铁）。
稳幅装置：为了使傅科摆始终维持等幅摆动，这就必须设法补偿在摆动过程中由于空气的阻力，摩擦等各种原因所损失的能量。我们利用太阳能电池板将光转换成电能存储到蓄电池里，通过单片机控制通断给电磁铁，电磁铁放置在铁球静止时的最下方。铁球做周期性摆动，当摆球摆到接衡位置时，单片机控制电路通电，电磁铁产生磁场对铁球施加电磁力，以提供动力。
3 傅科摆运动方程的建立与求解
设摆长为L，摆锤质量为m，悬挂于北纬λ处，以摆锤平衡位置为原点O，Ox指向正东，Oy指向正北，Oz指向天（如下图1所示）。由于摆长很长，当摆做小角度摆动时，可认为摆锤在水平面Oxy内运动。摆锤受到重力mgk，绳的拉力T和科氏惯性力Sc=-2m（ωsinλk+ωcosλj）*v。因为摆绳很长，可以认为T≈mg。根据假设v在水平面内，故科氏惯性力中的第二项-2mωcosλj*v始终沿z轴，在水平面内的运动微分方程中不出现。于是摆锤在水平面内的运动微分方程为
m■=-■r-2mωsinλk*r（1）
其中r为摆锤相对O点的向径，上述方程在极坐标中写成
m（■-r■■）=-■+2mrω■sinλm（r■+2■φ）=-2mω■sinλ（2）
其中r为极径，φ为极角。
图1 摆的模型
考虑特解，■=-ωsinλ。
代入方程（2）易于验证这是方程的解，再将其代入方程（1），略去含有ω2的项（这里角速度ω取■rad/s，故非常小，ω2项是高阶小量），得
■+■r=0
这个方程说明，摆动平面内的运动和单摆一样，其周期为-■。而其特解的存在说明，摆动平面也在转动，其转动周期为■。
为方便作图，把方程（1）化为直角坐标系下的微分方程
■-2ω■sinλ+■x=0■+2ω■sinλ+■y=0（3）
模型中各参数取重力加速度g=9.8m/s2，摆长L=67m，时间t取0到100s变化，角速度ω取■rad/s（地球的自转角速度为7.27*10-7rad/s，为了清晰地看见曲线图，适当放大ω）。
4 傅科摆运动轨迹与初始条件的计算机模拟
对上述模型进行计算机模拟，计算各种情况下的运动轨迹图形。
（1）同一纬度（以唐山地区的纬度为例），所有初始条件下摆的运动轨迹
a）在同一方向上改变初始速度与位移之比的情况
由于x，y两个方向具有对称性，故只研究x方向的位移和速度，图2、图3给出了x方向上初始速度与位移在不同比例下的运动。可以看出，随着初始速度与位移的比值逐渐增大，轨迹形状发生了一定的变化，由一种形状变为另一种形状。具体地说，零摆幅时摆球的位置离平衡位置越来越近，由尖角逐渐过渡到圆角，这是由于摆幅最大时，垂直径向的速度不为零引起的。但摆动平面的摆动速度没有变化，可见摆动平面的运动与此比值无关。
图2 初始条件为[4，1.5，0，0]
图3 初始条件为[4，4，0，0]
b）在互相垂直方向上改变初始速度与位移之比的情况
由于对称性，只研究x方向的位移和y方向的速度。图4～图7给出了互为垂直的初始速度与位移在不同比例下的运动。可以看出，随y向速度与x向位移的比值逐渐增大，轨迹形状经过了两次渐变。先由尖角状变到近乎圆周运动，再变到花瓣状。每种变化之间都是逐渐单调变化的。具体地说，摆角为零时，离平衡位置先增大，到一个极限位置后，再逐渐减小。由尖角逐渐到环状，再过渡到花瓣状。这是由单摆向圆锥摆过渡，再向单摆过渡而导致的。但摆动平面的摆动速度没有变化，可见摆动平面的运动也与此比值无关。
图4 初始条件为[4，0，0，0]
图5 初始条件为[4，0，0，0.5]
图6 初始条件为[4，0，0，4]
图7 初始条件为[1，0，0，8]
（2）同一初始条件不同纬度下摆的运动轨迹
让摆满足傅科摆的初始条件，即初始速度为零，摆幅最大。改变纬度参数，模拟并绘制摆的运动轨迹（图8～图10）。
图8 纬度为15°
图9 纬度为45°
图10 纬度为75°
从图8～图10可以看出，纬度越高，相同时间转过的角度越大，且离平衡中心距离也越大，说明科氏力在水平内的分量越大。赤道附近惯性力在水平面的分量基本上就为零了。途中也可直接看出在北半球（纬度为正），傅科摆是顺时针转动的。
由上述试验可看出，不同的纬度对摆的运动轨迹没有影响，只对摆平面的转动速度有影响。
5 结语
本研究使用MATLAB软件对傅科摆的运动轨迹进行了计算机动态模拟，给出实验效果图，明确了不同轨道形态与初始条件之间的对应关系。并以唐山地区的纬度为例，给出了同一纬度下不同初始条件下摆的相对运动轨迹。
【参考文献】
[1]范承善，施伟达，吴雅国.一个适合于课堂演示的小型傅科摆[J].实物理验，1986，6（1）：31-33.
[2]张世熹.有关傅科摆的一种解法[J].大学物理，1990，9（11）：19-21.
[3]陈刚.傅科摆轨道的计算与讨论[J].大学物理，1993，12（6）：6-8.
[4]李苹.《理论力学》教材中的一个修正――关于傅科摆相对运动轨迹的讨论[J].力学与实践，1994，16（4）：50-52.
[5]杨桂臣.傅科摆的轨迹[J].大学物理，1988，7（6）：1-6.
[6]王军延，李丽霞，陈文晓.傅科摆的分析和计算机模拟[J].高等函授学报：自然科学版，2006，2（1）：20-22.
[7]黄志永.傅科摆摆面进动转速的计算及其力学原理[J].黄山学院学报，2008，10（3）：31-33.