极大极小投资组合模型

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摘要： 本文讨论了摩擦市场中，可以卖空的基础上，构造最优投资组合选择的极大极小模型。应用经典的Ky Fan极大极小不等式定理，将其转化为两个二次规划问题，并给出最优投资组合的表达形式。

Abstract: In this paper, we construct a minimax model for the optimal portfolio selection in a friction market, at the same time short sales of risk assets is allowed. In the process of solving, Ky Fan minimax inequality theorem makes it into two quadratic programming problems, and the expression of optimal portfolio is presented.

关键词： 极大极小方法；投资组合；摩擦市场

Key words: minimax；portfolio；friction market

中图分类号：F21 文献标识码：A文章编号：1006-4311（2011）08-0141-01

0引言

投资组合模型首先由Markowitz[1]提出，此后众多学者将其推广、改进、发展、完善，取得了一系列的研究成果。其中，文献[2]中提出了一种新的投资组合模型――极大极小方法，但未考虑摩擦因素且有卖空限制。所谓摩擦是指市场不是理想化的，存在税收、佣金等交易成本。文献[3]研究发现，忽略交易费用会导致无效的投资组合。文献[4]研究了有摩擦的极大极小模型，但不可以卖空。本文中，基于文献[2]中的极大极小方法，即在最不利的收益率条件下，寻求最优的投资策略。以文献[5]提出的V型函数刻画交易费用等摩擦因素，并取消卖空限制，建立更加符合实际情况的极大极小模型。

1建立模型

在一个有摩擦的资本市场中，假设它有n个收益率为随机变量的风险资产，摩擦因素与交易量成正比，投资者希望在这n个风险资产之间分配其资金。引入符号：i：风险资产的随机收益率（i=1，…，n）；ri：风险资产的期望收益率，ri=Ei（i=1，…，n）；σij：i与j的协方差covi，j（i，j=1，…，n）；xi：投资在风险资产i的投资比例（i=1，…，n）；x：已投资在风险资产i的投资比例（i=1，…，n）；ci：风险资产的摩擦系数（i=1，…，n）。

1.1 假设1：协方差矩阵∑=σ是正定的。

1.2 假设2： ri不精确知道，但已知如下事实：①ri有一个序，即riri+1（i=1，…，n-1）。②每个ri落在一个已知的区间里，即airibi（i=1，…，n）其中，ai和bi是常数，可以从历史数据中估计。

1.3 假设3：初始投资为0，即x=0（i=1，…，n）。投资组合x=（x1，…，xn）除去摩擦用后的随机净收益率R（x）=x-cx，R（x）的期望是ER（x）=rx-cx，方差是VarR（x）=σxx

作为理性的投资者，不但希望最大化投资组合的的期望收益，而且希望最小化由方差度量的风险。所以，必须在ER（x）和VarR（x）之间权衡。引入ω作为风险回避因子，ω越大，投资者越回避风险。ω=1，投资者极度回避风险，只关注风险而忽略收益；ω=0，投资者完全不关心风险，只是冒险的追求收益。理性的投资者，不应只是关注收益或是只是关注风险，因此会在（0，1）选择适当的ω。同时由于不确切知道ri，所以投资者会选择最不利情形下最有利的投资策略。令1-ω和ω作为ER（x）和VarR（x）的权重系数，建立极大极小模型：P1：F（x，r）=（1-ω）rx-cx-ωσxx

s.t.x=1，riri+1，airibi。

2模型求解

根据文献[6]中的极大极小不等式定理，显然可以验证r的可行集是紧凸集，x的可行集是线性空间中的凸集，F是r的连续凸泛函，F在x的可行集上是凹的，故可以得出：

F（x，r）=F（x，r）

解决模型P1，首先固定r，考虑以x为变量的极大化问题

P2：F（x，r）=（1-ω）（rTx-cTx）-ωxT∑x

s.t.eTx=1。其中x=x，…，x，r=r，…，r，e=（1，…，1），c=c，…，c，∑=σ

2.1 定理1：模型P2有唯一最优解：

x=（1-ω）（r-c）+e

证明：该模型是一个关于x的凸二次规划问题，利用Lagrange乘子法求解。

构造函数L（x，λ）=-（1-ω）rx-cx+ωx∑x-λex-1

=-（1-ω）（r-c）+2ω∑x-λe

解方程组（1-ω）（r-c）-2ω∑x+λe=0ex=1

得x=（1-ω）（r-c）+e

由定理1，我们通过求解如下极小化问题来求解模型P1，

P3：Fr，x

=r-c∑（r-c）-

s.t.riri+1，airibi

2.2 定理2：模型P3存在唯一最优解r*。

证明：∑由假设可知是正定的，目标函数是凸的，可行集也是凸的，该问题是一个凸优化问题，根据凸分析的知识，模型P3的解一定存在且唯一。根据定理1和定理2，模型P1的最优解是：

x=（1-ω）（r*-c）+e

参考文献：

[1]Markowitz H.Portfolio selection[J].Journal of Finance，1952，7：77-91.

[2]李仲飞，汪寿阳.投资组合优化与无套利分析[M].科学出版社，2001，18-70.

[3]Arnott R D，Wanger W H.The measurement and control of trading cost[J].Financial Analysts Journal，1990，46（6）：73-80.

[4]赵靖，修乃华.带交易费及不允许卖空和借贷情况下的极大极小模型[J].北方交通大学学报，2004，28（3）：52-55.

[5]Yoshimoto A.The mean-Variance approach to portfolio optimization subject transaction costs[J].Journal of the Operational Research Society of Japan，1996，39（1）：99-117.

[6]张石生.变分不等式及其相关问题[M].重庆出版社，2008，82-89.