同课异构中的“同”与“异”
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不同教师有不同的知识背景、学习经历、情感体验，教学现场呈现的学生实际情况也不同，自然就建构出不同的教学设计，处理手法，呈现出不同教学风格，其折射出的设计理念，思考模式的差异性等等，都值得我们潜心揣摩并学以致用.文章通过对四节同课异构课中 “同”与“异”的比较和分析，提出一些个人的看法与建议.
同课异构；“同”； “异”
2013年11月20日，笔者观摩了福州一中的教学观摩周活动，来自南京师大附中、柘荣一中的两位老师（丁老师和袁老师）与福州一中的两位老师（危老师和郭老师）围绕《平面》这节课开展了“同课异构”活动.他们的课精彩纷呈，各具特色，让我受益匪浅，下面就这四节课作一比较和分析，同时谈谈笔者对同课异构中的“同”与“异”的一些个人看法与体会.
一、背景
《平面》是《普通高中课程标准实验教科书・数学必修2》（人教A版）第二章的第一节课，也是教材进入公理化系统的第一节课，由于对空间问题的研究经常都是借助或转化为平面问题来解决的，因此“确定平面”是将空间问题转化为平面问题来解决的重要条件，这种转化的最基本依据就是3个公理，可以说，刻画平面的3个公理是立体几何公理体系的基石，也是进行逻辑推理的基础.对于本节内容，《普通高中课程标准实验教科书・数学必修2・教师教学用书》（人教A版）给出的要求是：“引导学生通过直观感知，操作确认，理性思考，以及三种语言的描述和互相转化，经历公理的归纳概括过程，形成对公理的完整认识.”
由于这节课的主要内容是“概念+公理+表示法”，没有太多解题技巧、方法以及多媒体技术等方面的发挥空间，因此就更考量教师对数学本质的思考和理解，考量教师能否从知识系统的高度为学生构建前后一致、逻辑连贯的学习过程（章建跃教授课后点评语）.考量教师如何通过巧妙的教学设计来达到自己预设的教学目标，考量教师是否有强大的语言驾驭能力、足够的教育机智和游刃有余的课堂掌控能力.
二、教学中的“同”与“异”
1. 教学中的“同”
从教学流程看，4位老师都设置了相似的教学环节：都是从生活实例抽象出“平面”的概念，给出平面的画法与表示方法（包括用文字语言、图形语言、符号语言来准确表示点、线、面间的位置关系），然后引导学生继续从生活实例抽象出3个公理，并通过实例或练习来进一步巩固，加深对3个公理的理解，最后回顾小结本节课的知识体系与思想方法.
从课堂表现看，4位老师都表现出扎实的教学基本功，丰富的教学积累与深厚的教学功底，但不同教师有不同的知识背景、学习经历、情感体验，教学现场呈现的学生实际情况也不同，就自然建构出不同的教学设计，呈现出不同教学风格.基于此，才有了同课异构的“异”.
2. 教学中的 “异”
2.1对三个公理的设计与处理的不同
2.1.1 公理1环节
（1）对公理1所蕴含的思想方法的提炼重视程度不同
危老师对公理1做了进一步的解析：要判断所有的点都在平面内，很难做到，但判断两个点都在平面内很容易.这是一种用“局部说明整体，有限说明无限”的思想，这个思想是伟大的.这种对公理所蕴含的思想方法的提炼对培养学生的思维深刻性很有好处，值得推广.而其余三位老师缺少这一环节.
（2）对公理1的“作用”重视程度不同
除了丁老师，其他老师都提出“公理1的作用是什么？”，但是危老师只提到“判断直线是否在平面内（简称作用1）”，袁老师还通过一道练习：若 （问该填什么符号）补充了公理1的另一作用“判断点是否在平面内（简称作用2）”.郭老师也同时提及了作用1与作用2，但没有补充练习，从现场学生的反应看，学生对作用2的理解就不如袁老师的课堂效果好.
另外，袁老师还在PPT上呈现：公理1的作用还在于说明了平面与曲面的本质区别，用直线的“直”来刻画平面的“平”，用直线的“无限延伸”来刻画平面的“无限延展”.体现出初中所学的旧知识与高中所学的新知识之间的联系.
笔者观点：对于一个结论，除了学习结论本身，更重要的是展示新旧知识之间的联系，并用它来解决新问题，从“学以致用”的角度看，我认为提出“公理1的作用”是有意义的，也是必要的.
2.1.2 公理2环节
（1）探究中提出问题的切入角度不同，问题设置的针对性有差异
丁老师手举一个硬纸板：“如果硬纸板所在平面上的所有点都在黑板所在平面内，则两平面重合，但实际上我们需要考察‘所有点’（加重语气）吗？”经过学生的探究，发现可以简化到 “三个点”并且“不在一条直线上”就够了，和学生共同得到公理2.
危老师打出PPT，问：“三脚架牢固支撑相机，测量员用三角架支撑测量用的平板仪，反映了平面的什么性质？”经过学生的探究，得到公理2.
郭老师和危老师的处理方法很类似，用PPT打出相机三脚架和自行车，让“学生观察两幅图，寻找它们的共同特点，说说你得到什么启发？”经过学生的探究，得到公理2.
袁老师通过两个问题：（1）我们知道，两点可以确定一条直线，那么，两点可以确定一个平面吗？为什么？（2）几点可以确定一个平面？来引导学生探究，得到公理2.
笔者观点：危老师和郭老师所提问题的指向性过于宽泛，导致学生的思路过于发散.比如有的学生就回答“反映了三角形的稳定性”.就所提问题而言，也不算“答非所问”，但与老师预设的目标却相差甚远.而丁老师和袁老师的问题就更具针对性，但袁老师的问题直截了当，一针见血；而丁老师的问题若细心揣摩，会发现它与公理1的问题“遥相呼应”，体现了执教者对教材的“再创造”.（关于这点，会在后继的分析中作进一步的解读.）
（2）对“关键词”的解读方法不同
在“不在一条直线上”和“三个点”这两个关键词的解读上，4位老师都从正反两个方面做了充分的探究.但对于“有且只有”这个关键词，丁老师只是在板书公理2时提了一句，没有进一步的展开；其余3位老师都强调了“有”体现 “存在性”，“只有” 体现“唯一性”.危老师为了促进学生对“存在性”与“唯一性”的理解，提出四个小问题：① “过一点，有无平面？有几个平面？”② “过两点，有无平面？有几个平面？”③ “过三点，有无平面？有几个平面？”④“过四点，有无平面？有几个平面？”几个有机联系的小问题，体现出有条不紊的层次感，通过提问 “有无平面”促使学生思考“存在性”， 通过提问“有几个平面” 促使学生思考“唯一性”.在不经意间突破了难点.同时，对问题④要求学生课后思考，也体现危老师对问题难度的把握恰到好处.笔者认为危老师在这个环节的处理最有新意，课堂效果也最好.
（3）对公理2所蕴含的思想方法的提炼重视程度不同
与公理1环节一样，危老师对公理2所蕴含的思想方法仍然做了阐明与提炼：在二维问题中，“两点定线”；三维问题中，“三点定面”.还提醒学生“注意维度的变化引起几何关系的变化”. 而其余三位老师在这一环节依然缺失.
2.1.3 公理3环节
除了丁老师，其他老师对公理3的处理都相似：从课本42页的思考“把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面与桌面所在平面是否只相交于一点？为什么？”引入，通过启发“平面是无限延展的”，经过学生的探究，得到公理3，再结合生活实例加深理解.然后用符号语言来表示，并总结公理3的作用.
而丁老师的设计比较独特：她顺着公理2的思路“要使两个平面重合，公共点的个数要简化到三个”提出“那么，简化到一个点或两个点可以吗？”在学生探究“一个点”的情况时，自然地引出公理3，但在板书公理3内容时只写了“有”，暂时隐藏了“只有”，然后话锋一转，问道：“除了两平面的交线外，这两平面还有其他的公共点吗？”紧接着，引导学生用反证法的思路，“如果还有其他的公共点，那么由公理2可得，这两个平面必然重合”导致矛盾，从而得到公理3结论中的“只有”一词。（事实上，在教学流程中，她是先板书出不含“只有” 一词的公理3内容，再板书出公理2内容，讲解完反证法后，再补上公理3中 “只有”一词的板书.）这样的处理使学生对“有且只有”这个关键词理解更深刻了.（建议读者把丁老师对公理3中对“有且只有”的处理与危老师对公理2中对“有且只有”的处理进行比对，二者相映成趣，颇值玩味.）
章建跃教授在课后的点评中曾经提到“在数学教学中，要为学生构建前后一致，逻辑连贯的学习过程”，如果把丁老师在三个公理的教学环节中所提问题连贯起来看，公理1与公理2环节提的问题有相同的模式： ①某几何元素上所有点都在平面内，那么此几何元素就在平面内.（在公理1中几何元素是直线，在公理2中几何元素是平面）；②要使此几何元素在平面内，需要考察“所有点”吗？③若不需考察“所有点”，那最少需要几个点？而公理3环节的问题不过是对问题③的点的个数的拓展提问.若以章教授的要求为评价标准，丁老师的问题链设置无疑是最成功的.问题之间气脉通达，环环相扣，层层递进，教学过程流畅，衔接自然，令学生的思维始终处于“欲罢不能”的“愤悱”状态.达到了很好的教学效果.这也是丁老师这节课最显著的特色.
2.3 对“公理化方法”的处理不同
在授课中有三位老师对“公理化方法”这一概念均有提及，但提出的时机和侧重点不同：
丁老师是在课堂小结中提到：“我们学习了平面的概念和三个公理，那么接下来我们就可以依据这些基本公理与基本概念去不断推导出新的结论，这就是几何中的公理化体系，后面的学习就要继续做这样的事情.”她侧重于在今后的学习中加深对“公理化方法”的理解.
危老师是在讲授公理1之前，先回顾平面几何的学习历程，提到“从简单的公理出发，利用逻辑推理，得到相关的性质、定理、位置关系，我们把这样的研究思想叫做公理化思想，研究方法叫做公理化方法”，然后类比初中的学习历程，进入公理1的学习.他侧重于利用类比的方法引入三个公理.
郭老师在讲授完三个公理之后，给出“公理化方法”的概念，并用PPT呈现.语言与丁老师类似，不赘述.郭老师还提到是欧几里得在《几何原本》中用“公理化方法”建立了庞大的几何体系，它的作用是“把以前零散、片段的知识有机地组合起来，形成一个完整的系统.由这个系统我们可以很方便地比较一些本质的东西及其差异性，并衍生出一些新的数学分支，比如非欧几何与黎曼几何”，在最后的课堂小结中他还向学生推荐了《几何原本》与《庞加莱猜想》作为拓展阅读材料.他侧重于对数学史、数学家和数学著作等文化层面的介绍.
袁老师没有提及“公理化方法”，但把公理2的几个推论设置成判断题，让学生在练习中体会三个公理的理论基石作用.
“公理化方法”是否应该进入中学，各国数学家对此有不同观点.法国数学家狄多内认为公理化方法“不适用于学生，只适用于专业数学家”.荷兰数学家弗赖登塔尔也认为不必在学校中教，原因是“它阻碍学生从经验中发现数学”.持正面观点的有我国张景中院士和日本的杉山吉茂，张景中院士曾于1995年在《教育数学探索》中提出自己的欧式几何公理体系，为中学数学教材中公理化方法怎样处理作了示范尝试.在中学层面，上海市杨浦高级中学的崔永富和李群老师则认为：“公理方法并非在立体几何教材第一节知识的罗列中就能完成，它需要前后呼应.”人教A版教材把它放在第二章末尾的“阅读与思考”中，也体现了教材编写者的慎重.
笔者觉得：对“公理化方法”的理解是建立在系统学习几何学的基础上（初中对平面几何的学习不够系统，要作思路上的类比对学生的要求太高），目前刚学习三个公理，谈不上对“公理化方法”的深入理解，事实上，要利用公理推导出新的结论才谈得上理解“公理化方法”.就这点而言，笔者更倾向于丁老师的处理.如果像袁老师那样，让学生在练习中经历“从公理出发，利用逻辑推理得到新的结论”这一公理化方法的形成过程，然后再像丁老师那样在课堂小结中介绍“公理化方法”，不知效果会更好否？这个内容该放在哪里讲，讲到何种程度，都是值得商榷的.笔者斗胆提出个人看法，是本着“弄斧到班门”的态度，希望有识之士不吝赐教.
2.4 关于“用符号语言来表示直线在平面内是用
还是用∈”的问题的一点思考
在授课中问及如何把“直线l在平面a内”用符号语言来表示时，学生有两类不同意见：①若把直线与平面都看成点的集合，涉及两集合间的关系应该用l a；②若从“线动成面”的角度看，平面也可看成是以直线为元素的集合，涉及元素与集合间的关系那么应该用l∈a.老师们的回应是“都有道理，但为方便起见（或由于习惯原因），我们选择用l a”.
笔者观点：如果采用解释②，那么当用集合符号语言来表示“直线l与平面a相交于点A”时，直线l与平面a的关系是元素与集合间的关系，怎么能用l∩a=A的交集运算符号呢？因此站在教材系统性的角度，“前面的知识不能与后继体系有矛盾”（李必成老师原话），这是衡量一门学科体系是否成熟的标志之一.这也使笔者对章建跃的“从知识系统的高度为学生构建前后一致，逻辑连贯的学习过程”的观点有了更深刻的理解.
三、结语
四位老师的教学风格迥异，各有所长，呈现出很强的个人特色：丁老师对问题链设置一气呵成，在教学规范方面堪称典范，课堂掌控收放自如，形散神聚；危老师自始至终强调数学思想方法的重要性，并在诸多环节中都提出自己独特的思考，体现了思想的深度与高度；郭老师的课堂文化味、哲学味并重，致力于传递“数学源于生活又高于生活”的理念；袁老师的设计精巧紧凑，知识总结结构化、系统化，总在最恰当的时机讲授恰当的内容，真正实现了“高效课堂”. 四位老师在相同的教学环节下不同的教学设计，处理手法，以及其折射出的设计理念，思考模式的差异性，值得我们潜心揣摩并学以致用，我想这也是同课异构的 “同”与“异”的价值所在.