有效数学操作应注意“四个一致”

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数学操作是以“问题探究”为导向，以“数学思考”为内驱的一种动作认知学习方式，是落实“主体性”理念的重要方式。

一、操作学具与数学特性一致

操作学具是数学操作学习活动的媒介，不是科技制作，亦非儿童玩具，因此不必过分追求技术含量的高低与外表的美观与否。只要能直观外化内在数学知识特性，有利于学生发现问题和分析问题的，就是好学具。基于有效的才是最好的。任何一个数学概念，它的操作介质是多样的，教师要务实地审视、选择学具，提高操作活动的有效性。

例如，教学人教版“三角形三边关系”一课，不少教师采用“纸条”作为操作学具。笔者认为该做法是欠妥的，原因有两点：①纸条不具有线“细”的特征，当演示特例“两边之和等于第三边”时，用有宽度的纸条难以发现围不成的现象。②纸条不具备刻度，学生看不到量，难以从量的大小上去分析问题。实际上对三角形三边关系的研究，教师要引导学生透过直观的“形”过渡到对“量”的分析与描述，揭开三角形三边关系的本质特性。据此，笔者利用有刻度的软垫板作材料自制学具（如图1所示）：分别制作红、黑两组线段，每组都由9cm、7cm长的两条线段组成。教师启发操作：①想一想：利用红（或黑）线段围三角形，可是都只有两条，该怎么办？②剪一剪：利用手中的两组线段尝试两种剪法（一种是将长线段剪成2条线段，另一种是将短线段剪成2条线段）。③围一围：分别用红、黑线段围三角形，你发现了什么？

通过“剪”与“围”，学生发现剪短线段的方法围不成三角形，而剪长线段的方法能围成三角形。两种不同的结果激起学生的认知冲突，使学生进一步追寻原因。此时，教师引导学生将围不成三角形的上面两条线段往下压一压（如图2所示），进行观察。学生会发现两条线段接不起来，形不成三角形，是因为3cm+4cm=7cm，7cm

二、操作过程与思维过程一致

儿童的智力活动是与他对周围物体的作用密切联系在一起的，也就是说，儿童的理解来自他们作用于物体的活动。儿童在操作过程中所获得的感性经验是支撑数学理解、想象、推理等间接数学思维活动的桥梁。教师引导学生进行数学操作，不能将目标仅定位于操作本身，只有当操作的内容、方法、顺序等合乎数学原理，与数学思维一致时，学生才能实现正确的抽象与概括，形成数学概念与法则，操作才有效。

例如，进行退位减法“62-46”的操作，是要在6个十和2个一的小棒中拿走4个十和6个一。由于学生平时看书、写字习惯“从左往右”，导致学生往往先从6个十中拿走4个十剩2个十，接着又从十位上打开1个十为10个一，直接从10个一中拿走6个一，得出结果16。这样的操作活动仅能算出62-46的结果，与计算法则“从个位算起，个位不够向十位退一”的思维过程不一致。竖式计算时，学生头脑中对竖式笔算运算顺序的数学思考与操作活动所获得的直接经验对接不上，使前面的操作活动成为游离于教学目标的形式化活动。教师应基于学生对数学思考建构的高度，精心设计操作活动的顺序。可引导学生边思考边操作：①思考，从个位减起，个位上只有2根小棒，要拿走6根，不够怎么办？②操作“退一”，个位不够，从十位上拿1捆过来，打开与个位合并。③反思，“退一”后，个位上是几减6？十位上是几减4？为什么？操作始终与思考相结合，学生动手操作的过程就是数学思考的过程。

三、操作时机与难点突破一致

操作时机是指在一堂课中操作介入的时间。准确地把握操作介入的时机，是有效操作的重要保证。然而，一些教师对操作的目标达成与作用导向认识不清，未能及时把握为突破“难点”而操作这个最佳时机，而是随意操作，表面热闹却功效甚微。

例如，上述退位减法“62-46”的教学中，多数教师在引出竖式后马上组织学生操作：62减46等于几？怎样算呢？请用小棒摆一摆。结果生成了各种各样的摆法。可以看出，此时的“摆”纯属一种操作活动，偏离以“摆”促思，以“摆”释疑的根本意图。事实上，本节课的“摆”更多的是为帮助学生思考并积累“退一”中“变与不变”的感性经验。基于突破难点的目标，引出竖式后教师不应急于组织学生“摆”，而应先唤醒笔算经验，引导思考：笔算加减法，从个位算起，可这里个位上2减6，不够减怎么办？然后组织讨论，统一观点：向十位退一。此时学生跃跃欲试，处在“心求通而未得，口欲言而未达”的愤悱状态，操作时机成熟。教师及时抛出3个问题，让学生带着问题去操作：①怎样“退一”？②“退一”后什么了？什么没变？③“退一”后，被减数个位的数变成了几？十位的数变成了几？有“摆”的经验支撑，教师再把被减数的十位、个位生动地比作一个人身上的左、右口袋，把小棒从左边的口袋拿到右边的口袋，两个口袋的小棒数变了，但总数不变。学生就能深刻地理解“退一”的内因，感悟“变中不变”的数学思想。同时，操作将数与形、理与法对应沟通起来，使被减数十位上“6”“5”，个位上“2”“12”的变化过程直观化。本课的教学难点在操作中得以一一突破。

四、操作结构与经验提炼一致

数学操作是揭晓知识特性的活动。任何知识都不是零碎的、彼此孤立的，而是按一定的逻辑关系组成的知识结构。数学知识的逻辑结构就构成了数学操作的逻辑结构。数学学习作为一种认知活动，是数学知识结构和学生原有数学认知结构相互作用，进而形成新的数学认知结构的过程。只有将数学操作纵横沟通、相互整合，形成合理的知识结构时，才能跟学生已有经验发生同化、顺应，转化成学生的认知结构，实现经验的再提炼。

例如，人教版教材二年级下册探究两种情况的“平均分”方法，呈现了两个例题。第9页的例2是已知总数和份数，探求“平均分”的分法；第10页的例3是已知总数和每份数，探求“平均分”的分法。两种情况“平均分”的分法有不同之处，也有相通之处。教师如果孤立地教学这两个例题，孤立地开展操作活动，留给学生的将是零碎的、繁杂的知识点。认知建构理论认为，学生能否有效地建构认知结构，在很大程度上取决于是否具有相对完整的数学知识结构。基于建构原理，在学生分别操作两种情况的“平均分”方法后，教师应将两种情况的“平均分”方法进行横向、纵向的沟通与整合，可引导思考：两种情况“平均分”的方法有什么不同？有什么相通之处？哪种情况的“平均分”方法又快捷又方便？像例2这种情况的“平均分”方法有点麻烦，能否通过“想乘法”6×（ ）=18，先想出每份数再平均分呢？这样，通过沟通、比较、转化，把零散的知识点的操作整合成具有结构性的操作，使学生获得以“每份数”平均分是最优化方法的认知经验。

数学操作姓“数”，其内涵丰富，只有当它蕴含着数学知识特性和数学学习原理时，操作才有效。

（作者单位：福建省上杭县城东小学）