山东高考数学试题理科18题

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题目如图1所示，在三棱锥P-ABQ中，PB平面ABQ，BA=BP=BQ，D，C，E，分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ=2BD，PD与EQ交于点G，PC与Q交于点，连接G.

（Ⅰ）求证：AB∥G；

（Ⅱ）求二面角D-G-E的余弦值.

1解题思路分析与解题方法图1（Ⅰ思路1

要证明AB∥G，由中位线的性质E∥AB，DC∥AB，只要证明E∥G，所以关键是证明E∥平面PCD.

证法1因为 DC，E分别为QAB，PAB的中位线，所以DC∥AB，E∥AB所以DC∥E 又E平面PCD，DC平面PCD，所以E∥平面PCD 又E平面EQ，平面EQ∩平面PCD=G，所以E∥G 又E∥AB，所以AB∥G

点评本题也可以通过证明DC∥平面EQ，得出DC∥G，从而得出AB∥G.

思路2由于点G、分别是PAQ、PBQ的重心，可以利用三角形重心的性质证明DC∥G，从而推出AB∥G.

证法2因为点G是PAQ的两条中线PD，QE的交点，所以点G是PAQ的重心 同理点是PBQ的重心 所以PG∶GD=P∶C=2 所以G∥DC 因为 DC为QAB的中位线，所以DC∥AB 所以AB∥G

点评本题点G、分别是PAQ、PBQ的重心，可以得出QG∶GE=Q∶=2，推出G∥E，由E为PAB的中位线，得出E∥AB，从而AB∥G.图2

思路如图2，取PQ的中点M，由于点G、分别是PAQ、PBQ的重心，可以利用三角形重心的性质直接推出AB∥G.

证法如图2，取PQ的中点M，连结AM，BM，因为点G、分别是PAQ、PBQ的重心，所以G∈AM，∈BM，且AG∶GM=B∶M=2 所以G∥AB

点评此法避开了线线、线面的转化，是第一问最简洁的证法

思路4要证明AB∥G，只要证明AB∥平面PCD，AB∥平面EQ又平面PCD和平面EQ的交线为G，得出G∥AB.

证法4因为DC为QAB的中位线，所以DC∥AB 又AB平面PCD，DC平面PCD，所以AB∥平面PCD 同理AB∥平面EQ 又平面PCD∩平面EQ=G，所以G∥AB.

点评这种证法利用了定理“若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线平行于它们的交线”.

思路要证明AB∥G，先证AB平面PBQ，再通过证平面PCD和平面EQ都垂直于平面PBQ，得交线G平面PBQ，从而G∥AB.

证法因为AQ=2BD，AD=DQ，所以ABBQ 因为PB平面ABQ，AB平面ABQ，所以ABPB 又PB，BQ是平面PBQ内两条相交直线，所以AB平面PBQ因为 DC为QAB的中位线，所以DC∥AB 所以DC平面PBQ又DC平面PCD，所以平面PCD平面PBQ同理平面EQ平面PBQ又平面PCD∩平面EQ=G， 所以G平面PBQ所以AB∥G.

点评这种证法利用了定理“若两个相交平面和其外一条直线都垂直于同一个平面，则这条直线平行于两个相交平面的交线”.

思路6由于G、分别是PAQ、PBQ的重心，结合空间向量运算的性质得出G与AB的数量关系，从而推出G∥AB.

图思路7如图，分别取AE，B的中点M，N，证明平面EQ与平面CDMN平行，得出它们与平面PCD的交线G，DC平行，从而推出AB∥G.

证法7如图，分别取AE，B的中点M，N，连结MN，MD，NC，则E∥MN∥AB， DC∥AB所以MN∥DC，即C、D、M、N四点共面又MD∥EQ，MN和MD是平面CDMN内两条相交直线，E和EQ是平面EQ内两条相交直线，所以平面CDMN∥平面EQ又平面PCD∩平面EQ=G，平面PCD∩平面

点评利用坐标法解题的基础是建立坐标系，要找到或证出两两相互垂直的线，才能建立空间直角坐标系

（Ⅱ）思路1如图4，在建立空间直角坐标系B-xyz的基础上，先求出二面角D-G-E的两个半平面所在平面的法向量，再由向量数量积的定义得出两法向量夹角的余弦，最后根据二面角大小的范围来确定所求二面角的余弦值.

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割补分析

本题如果对图形进行补形，题目将变为：如图6，在四棱柱PMN-BQA中，PB平面ABQ，BA=BP=BQ，D，C，E，，I，分别是AQ，BQ，AP，BP，A，A的中点，AQ=2BD，PD与EQ交于点G，PC与Q交于点，I与交于点，连结.

（Ⅰ）求证：AB∥；图6

（Ⅱ）求二面角D-G-E的余弦值.

由题目中条件可先推出此四棱柱为大家非常熟悉的正方体，这样无论是否建系，解决起来都比较容易

阅卷启示

在阅卷中发现第一问证明失分的关键问题是在定理应用中学生解答不规范，如在证明E∥平面PCD时，漏写条件E平面PCD，再如E∥G时，漏写条件平面EQ∩平面PCD=G，导致该步骤不能得分 在第二问的解答中，用向量法时，有的同学没有证明ABBQ，就建坐标系，用传统方法时，没有证明G，GC，就说∠C为二面角D-G-E的一个平面角，会而不全，导致失分严重

作者简介吴金革，男，山东冠县人，中学高级教师，山东省优秀教师，济南市数学学科带头人，近12年来一直是济南市高三数学模拟试题命题组成员，作者参加了21年山东数学高考阅卷工作，是本题阅卷组小组长.