一种分数阶傅里叶变换快速算法的研究
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摘 要：介绍了分数阶傅里叶变换的定义，接着提出了一种分数阶傅里叶变换的快速算法，其中分数阶傅里叶变换快速算法分三步进行：线性调频信号乘法，线性调频信号卷积，另一个线性调频信号乘法,从而利用FFT来计算FRFT。这种算法思想直观，结果与连续FRFT的输出接近。最后用具体的信号作了计算机仿真，并给出Matlab仿真结果图。
关键词：分数阶傅里叶变换；FFT；时频分析；卷积
中图分类号：TN9117 文献标识码：A
文章编号：1004-373X(2008)09-156-02オ
Research on Fast Algorithm for Fractional Fourier Transform
HUANG Qiongling,LIU Zhenxing,WEI Yu
(Department of Information,Wuhan University of Science and Technology,Wuhan,430081,China)
オ
Abstract：The definition of the Fractional Fourier Transform (FRFT) is presented in the paper.A new algorithm for efficient and accurate computation of FRFT is given.The new algorithm of FRFT includes three steps:The multiplication of linear frequency modulation signal;the convolve of linear frequency modulation signal;another multiplication of linear frequency modulation signal;so as tomake use of FFT to compute FRFT.This kind of calculate waykeeps a view and the output is close to the continuous FRFT.Finally,a few simulation results for some typical signals are provided to compare with previous ones by other methods in the end.
Keywords：fractional fourier transform;FFT;time-frequency analysis;convolve
1 分数阶傅里叶变换的定义
传统的傅里叶变换(FFT)对平稳信号的处理效果很好，但当信号频率随时间变化时，FFT就显得有些力不从心了。分数阶傅里叶变换(Fractional Fourier Transform,FRFT)可以很好地弥补FFT的不足，特别是处理线性调频信号(LFM)时，能够得到令人满意的结果。
FRFT也称为角度傅里叶变换(AFT) 或者旋转傅里叶变换(RFT),其定义式为:
И
Xp(u)=Rα［x(t)］=∫∞－∞Kp(t,u)x(t)dt
(1)
И
式中变换核取作：
お
Kp(t,u)=1－jcot α2π
ej(12u2cot α－utcsc α+12t2cot α), α≠nπ
δ(t－u), α=2nπ
δ(t+u), α=(2n+1)π
其中n为整数，即n∈Z。α=pπ/2称为分数阶Fourier变换的阶数，并有Rα=Rpπ2=Fp。Kp(t,u)称为FRFT的核函数。Xp(u)称为x(t)的p阶Fourier变换。FRFT是一种线性算子,记为Fp,他满足以下性质： И
(1) FRFT变换为线性算子；
(2) F0［x(t)］=F4［x(t)］=x(t)(恒等变换)；
(3) F1［x(t)］=F5［x(t)］=X(ω)(标准Fourier变换)；
(4) 广义Fourier变换算子为加性算子，即有Fp+q=FpFq。И
2 采用分解方法计算FRFT的步骤
分数阶Fourier变换可以具体分解为以下三个主要的计算步骤：线性调频信号乘法；线性调频信号卷积；另一个线性调频信号乘法。假定p∈［－1,1］，г蛭颐强梢越经过量纲归一化的信号f(x)的分数阶Fourier变换式(2)分解为以下三步运算：
И
fp(x)=e－jπx2tan(α/2)g′(x)
(3)
И
和:
即是说，分数阶Fourier变换的数值计算的顺序如下：先计算式(式(5))，再计算式(4)，最后计算式(3)。下面是每一步计算的有关细节。
第一步：将函数f(x)与线性调频函数相乘(式(5))。注意，g(x)的频率带宽与时间带宽乘积可以是f(x)的相应带宽乘积的两倍，所以要求g(x)的采样间隔为1/(2Δx)。如果f(x)样本值的采样间隔是1/Δx，那么就需要对这些样本值进行插值，然后再与线性调频函数的离散采样值相乘，以得到所希望的g(x)У牟裳。
第二步：将g(x)в胍幌咝缘髌岛数作卷积式(式(4))。注意，由于g(x)是带限信号，所以线性调频函数也可以用其带限形式代替而不会有任何影响。也就是说，我们可以取:
И
g′(x)=Aα∫∞－∞ejπβ(x－x′)2g(x′)dx′
=Aα∫∞－∞h(x－x′)g(x′)dx′
(7)
И
是函数Иejπβx2УFourier变换。于是，式(7)的离散形式为:
И
g′(m2Δx)=∑Nn=－Nhm－n2Δxgn2Δx
(10)
И
这一离散卷积可以利用快速Fourier变换计算。
第三步：计算式(3)得到f(x)У姆质阶Fourier变换fp(x)У牟裳值fpm2Δx。в捎诩俣íf(x)У乃有变换都是带限的，他们位于区间В12Δx,12Δx，所以需要用因子2对fpm2ΔxЫ行二抽一采样，以得到离散采样fpm2Δx。因此，对于不是π/2д数倍的角度，分数阶Fourier变换的计算对应以下步骤：
(1) 原信号与一线性调频函数相乘；
(2) Fourier变换(其变元乘以尺度系数Иcsc α)；И
(3) 再与一线性调频函数相乘；
(4) 乘以一复幅值因子。
3 对信号的FRFT处理及仿真图
首先要给出一个输入信号x,然后根据分解方法编出FRFT快速算法，根据不同的p值输入信号x会生成不同的曲线，其中p∈(0，4)。找出每个p值时FRFT的输出最大值点，组成一个一维数组m1,再从m1中找出一个最大值，该值所对应的p值就是FRFT变换的最佳角度α=pπ/2。
由图1(d)中可以看出当p=1时，α=π/2就是普通的傅里叶变换，这也验证了分数阶傅里叶变换的正确性。
图2 chirp信号随着p变化的FRFT变换仿真结果
由图2可以看出，在图2(e)中p=15的时候，即α=3π/4时形成了一个冲击信号，说明了在此角度上信号的能量最好地集聚在一点上，由此可以识别出信号的调频系数，检测出信号的参数，这就是FRFT处理LFM信号的显著作用。
4 结 语
分数阶傅里叶变换是近二十年来发展起来的一种全新的信号时频分析工具,在很多方面得到了十分广泛的应用。而其快速算法的研究则对扩展其应用领域有着十分重要的意义。本文提出了一种有效并能准确计算FRFT 的新算法。该算法具有易实现、易理解、精度较高等优点，相信FRFT将会受到更广泛的重视,在信号处理领域会有良好的应用前景。
参 考 文 献
［1］平先军，陶然，周思永，等.一种新的分数阶傅里叶变换快速算法\[J\].电子学报，2001，29(3):406-408.
［2］Lufs B Almeida.The Fractonal Fourier Transform and Time-Frequency Representations ［J］.IEEE Transactions on Signal Processing,1994,42(11).
［3］尉宇.线性调频和非线性调频信号的检测与参数估计\[D\].武汉：华中科技大学,2005.
作者简介 黄琼玲 1982年出生，硕士研究生。主要研究方向为数字信号处理。
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