一题多方法 巧借对中考

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数学大师笛卡尔说：“最重要的知识是关于方法的知识。”常言说：“授之以鱼，不如授之以渔。”这都说明方法的重要性。本文通过对课本上一道普通习题的一题多解的探究，试图挖掘十分丰富的数学思想方法，从而有效地指导学生快速解答中考题。

原题（人教版，九年级上114页3题）如图1，正方形边长为a，以各边为直径在正方形内画半圆，求图中阴影部分的面积。

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图1

一、方法1，利用“割补法”将阴影部分直接转化为易于求解的规则图形

简解：如图2，作正方形的两条对角线，易看出阴影部分被分成8个小弓形，再过O作OEAB，则

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图2

小弓形面积=S扇形EAO-SAEO=π（■）2×■-（■）2×■

S阴影=8S弓=■-a2

方法1应用于下题中：

（河北省2009年中考模拟题）如图3，半圆直径AB=10，P为AB上一点，点C、D为半圆的三等分点，则阴影部分面积是多少？

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图3

简析：此阴影部分可分为弓形和ΔCDP面积，而ΔCDP与ΔCOD面积相等，故S阴影=S扇形OCD=■。

二、方法2，利用“平移法”将阴影部分直接转化为易于求解的图形

简解：过图1的正方形中心作AD的平行线段把原图形分成上下两块，然后将上一块移到下一块的下面，形成图4，易得

S阴影=S正方形ABCD-2（S正方形ABCDS圆O）=2S圆O-S正方形ABCD

小结：平移、旋转、轴对称都属于全等变换，即图形只是位置变，而大小不变。这样，经过适当地改变位置，就能变为易于求解的规则图形。

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图4

（2009年衡阳市中考题）如图5，圆心角都是90°的扇形OAB与扇形OCD叠放在一起，连接AC、BD。

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图5

（1）求证AC=BD。

（2）若图中阴影部分面积是■cm2，OA=2cm，求OC长。

简析：只考虑（2），ΔDOB可看作ΔCOA绕O逆时针旋转90°而得到，这样，ΔCOA中的阴影部分可补到ΔDOB中，而成圆环的一部分。

■（OA2-OC2）=■，解得OC=1

三、方法3，注重操作过程看“重叠”

简解：图1中的阴影部分可看作将4个直径为AB的半圆平铺在正方形内，四个半圆相重叠的部分。

S阴影=4×（■）2π×■-a2=■-a2

小结：此方法重点是“动手操作图形”，发现重叠部分，找出它与阴影部分间的关系。

（2009襄樊市中考题）如图6，在RtΔABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，分别以AC、BC为直径画半圆，则图中阴影部分面积为（ ）（结果保留π）

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图6

简析：该阴影部分可看作分别将两个半圆平铺在RtΔABC上，多出部分及两者在三角形内重叠部分。即S阴影=（■）2×π×■+（■）2×π×■-■=■-4。

四、方法4，利用“列方程组（或方程）”的方法

简解：设图1中的阴影部分面积为y，空白部分面积为x，可列出

x+y=a2■x+■y=（■）2×π×■

解得y=■-a2

小结：这种方法重点是寻找未知量间的等量关系。

五、方法5，利用“整体思想”

简解：这种方法重点是从大处着眼，将部分合为整体。

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图7

可将两个小弓形拼合成一个“小叶片”。如图7，连结AO、BO，则一个小叶片的面积=S半圆-SABO=■-■

S阴影=4×（■-■）=■-a2

也可将上下两个半圆拼成一个整圆，则S空白=2×（S正方形ABCD-S整圆），阴影部分进而可求。

（2009长春中考题）如图8，方格纸中，4个小正方形边长均为1，则图中阴影部分三个小扇形面积和为（ ）

简析：此题关键是能看出左边两小扇形的圆心角和为90°。

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图8

故三个小扇形面积和为圆心角为135°，半径为1的扇形。

当然，课本中的一道习题不可能包含解决中考问题的全部思想方法。这些思想方法，也不单是只能用于求面积，完全可以应用于其他方面。只要能够以此题为例，深刻挖掘典型例题、习题的内涵，举一反三，就能更好地把握中考动态，为学生提供更多的练习机会，更深刻体会“中考命题源于课本，又高于课本”的命题原则，那么本文的目的就已经达到了。

（责编 赵建荣）