微元法微元有法
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摘要：微元法是是将研究对象（物体或物理过程）进行无限细分，从其中抽取某一微小单元即“元过程”，进行讨论，每个“元过程”所遵循的规律是相同的从而可以化曲为直，使变量、难以确定的量为常量、容易确定的量，变成我们熟悉的物理规律迅速地加以解决，使复杂的问题变得简单，从而起到巩固知识、加深认识和提高能力的作用。
关键词：微元法；基本原则；教材中的运用；解题中的应用
“微元法”的取元原则选取微元时所遵从的基本原则是：
（1）可加性原则：由于所取的微元最终必须参加叠加演算，所以，对微元及相应的量的最基本要求是：应该具备“可加性”特征；
（2）有序性原则：为了保证所取的微元在叠加域内能够较为方便地获得“不遗漏”、“不重复”的完整叠加，在选取微元时，就应该注意：按照关于量的某种“序”来选取相应的微元；
（3）平权性原则：叠加演算实际上是一种的复杂的“加权叠加”。对于一般的“权函数”来说，这种叠加演算（实际上就是要求定积分）极为复杂，但如果“权函数”具备了“平权性”特征（在定义域内的值处处相等）就会蜕化为极为简单的形式.
就“微元法”的应用技巧而言，最为关键的是要掌握好换“元”的技巧。最常见的换“元”技巧有如下几种：
（1）“时间元”与“空间元”间的相互代换（表现时、空关系的运动问题中最为常见）；
（2）“体元”、“面元”与“线元”间的相互代换（实质上是降“维”）；
（3）“线元”与“角元”间的相互代换（“元”的表现形式的转换）；
（4）“孤立元”与“组合元”间的相互代换（充分利用“对称”特征）。
一、从教材中认知微元思想
1.瞬时速度
平均速度只能粗略地描述物体运动快慢，要准确的描述物体运动快慢，可
以把t取得小一些。物体在从t到t+t这样一个较小的时间间隔内，运动快慢的差异也就小一些。t越小，运动的描述就越精确。如果t非常非常小，就可以认为t内的平均速度表示的是物体在时刻t的速度，这个速度叫做瞬时速度。这里的“非常小”，渗入了时间微元的思想。
2.匀变速直线运动的位移
教材在研究匀变速直线运动位移时，把时间划分为许多小的时间间隔。设想物体在每一时间间隔内都做匀速直线运动，而从一个时间间隔到下一个时间间隔，物体的速度跳跃性地突然变化。因此，它的速度图线由图中的一些平行于时间轴的间断线段组成。由于匀速直线运动的位移可以用速度图象图线与时间轴之间的面积来表示，因此上面设想的物体运动在时间t内的位移，可用图中的一个个小矩形面积之和（即阶梯状折线与时间轴之间的面积）来表示（如乙图）。如果时间的分割再细些，物体速度的跃变发生得更频繁，它的速度图象就更接近于物体的真实运动的图象，阶梯状折线与时间轴之间的面积就更接近于倾斜直线与时间轴之间的面积（如丙图）。当时间间隔无限细分时，间断的阶梯线段就趋向于倾斜直线，阶梯状折线与时间轴之间的面积就趋向于倾斜直线与时间轴之间的面积（如丁图）。这样，我们就得出结论：匀变速直线运动的位移也可以用速度图象图线与时间轴之间的面积来表示。教材内容的处理将微元思想体现得淋漓尽致，学生在学到知识的同时也掌握了用微元法处理问题的方法。
3.重力做功
教材在研究重力做功时运用了“微元”思想。假设物体沿任一路径运动，如图所示。把整个路径分成许多很短的间隔AA1，A1A2，A2A3，…由于每一段都很小，因而都可以近似地看做一段倾斜的直线。设每段小斜线的高度差分别是h1，h2，h3，…则物体通过每段小斜线进重力所做的功分别为mgh1，mgh2，mgh3，…物体通过整个路径时重力所做的功，等于重力在每小段上所做的功的代数和，即WG=mgh1+mgh2+mgh3+…=mg（h1+h2+h3+…）=mgh=mgh1-mgh2
这里分析表明，物体运动时，重力对它所做的功只跟它的起点和终点的位置有关，而跟物体运动的路径无关。功的大小等于物重跟起点高度的乘积mgh1与物重跟终点高度的乘积mgh2两者之差。
此外，教材在探究弹性势能的表达式和研究静电力做功时也运用了“微元”的思想。
二、通过具体实例阐述微元思想的应用
由于数学知识上的局限，对于高等数学中可以使用积分来进行计算的一些物理问题，学生在高中很难加以解决。我们都可以通过选取具有代表性的极小的一部分进行分析处理，再从局部推广到整体。事实上，这些选取的具有代表性的“元”，可以是一小段线段圆弧（线元）、一小块面积（面积元）、或一小部分质量（质量元）以及一小段时间（时间元）等，它们均具有整体对象的基本特征。通过具体实例进一步阐述微元思想的应用，提升微元解题技巧。
1.“化变为恒”、“化曲为直”解答变力做功的问题
例：质量为m的物体放在粗糙水平面上，现有一大小不变方向时刻垂直于半径的拉力使物体沿半径为R的半圆从A点缓慢运动一种，如图，物体与平面剑的动摩擦因数为μ，则拉力做功多少？
解：物体沿圆周缓慢运动是的拉力等于所受的摩擦力F=μmg将圆周分成n个小段，每个小段可看成直线，且拉力的方向与位移的方向相同
2.找“联系点”、“联系物”求相关速度
例：如图直棒AB两端分别靠在竖直墙和水平地面上，接触处均光滑，当直棒滑到与水平面成θ角时，A点向下移时动的速度为υ，则此时B点的移动速度为多少？
分析与解：要求出VB这里的“联系物”是棒，根据微量法作出直角三角形和，分别得到如下两式：
从以上这个例子看出，如果有几个物体连接在一起，先求出“联系点”或“联系物”的速度，再用微量法，作出直角三角形，求出要求的瞬时速度。
（作者单位：江西省鄱阳县第一中学333100）