勾股定理解题中的数学思想

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勾股定理是初中数学中的一个十分重要的定理，它反映了自然界中的一个最基本的规律，体现了直角三角形三边之间的数量关系。通过勾股定理的学习，学生们能够进一步理解和感觉一些数学思想方法，从而提高运用数学知识解决实际问题的能力。以下就从五个方面来谈谈在勾股定理解题过程中所体现出来的数学思想。

一、方程的思想

在求解勾股定理问题时，常常需要将与三角形各边均有关系的某个量设未知数，再依据题目中其他数量关系列方程求解

例1如图在长方形ABCD中，AB=5，在CD边上找一点E，沿直线AE把ADE折叠，若点D恰好落在BC边上点F处，且ABF的面积是30，求DE的长。

二、转化思想

最短路线问题是勾股定理在实际问题中的具体应用之一，解决此问题的关键是先将立体图形转化为平面图形，再利用“两点之间线段最短”及勾股定理等知识来解决。

例2如图已知柱的底面周长为16cm，高为6cm，一只蚂蚁从点A到点B寻找食物，蚂蚁要爬行的最短路程是多少？

解析：由题意可知，圆柱体中的A，B两点是曲面上的两点，表示这两点之间的最短路程显然不能直接画出来，但我们知道圆柱的侧面展开图是一个矩形，于是可画出图2。这样转化到平面上求两点间最短路程。

点评：侧面展开后，A，B两点间的距离是底面周长的一半，不能误解为底面周长，解决立体图形中最短距离问题的关键是利用转化思想，将陌生的立体图形展开，转化为熟悉的平面图形再求解，即“化曲为平”

五、数形结合思想

数形结合思想即借助数的精确性阐明图形的某种属性。利用图形的直观性阐明数与数之间的关系，这是沟通数形之间的联系、并通过这种联系产生感知或认知、形成数学概念或寻找解决数学问题途径的思维方式。 数形结合是解决数学问题的一个有力工具，也是中学数学中极为重要的基本方法之一

例6如图1，一架梯子长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与端角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，如图2所示，测得BD长为0.5米，求梯子顶端A滑落了多少米？

点评：解答此题的关键是构造直角三角形，用勾股定理来寻求边与边之间的关系是解此类问题的常用方法。勾股定理的公式及各种变式应牢固掌握，灵活应用。注意问题中只告诉三角形的一些条件，可启发我们运用勾股定理的逆定理进行判断。