三角函数与数列

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三角函数的值域及其周期性有它的独特之处，针对这一特点每年都设置有不同的高考试题，常见的考查形式是直接考查，在2012年的高考试题中则以数列为背景考查了这两个性质，难度比较大.

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一般地，解答三角函数与数列交汇的试题的思路是根据三角函数的周期性确定数列的特点，进而利用数列的相关知识求解.

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■ 数列{an}的通项公式an=ncos■+1，前n项和为Sn，则S2012=_____.

破解思路 本题的设问启发考生，这个数列必定是一个特殊的数列，于是要集中精力发现这个特殊性，为此必须列出一定数量的项，通过观察发现其特点. 根据通项公式计算得到：a1=1，a2=2×（-1）+1，a3=1，a4=4×1+1=5…. 根据三角函数的周期性可知该数列中奇数项都等于1，偶数项a2n=2n×（-1）n+1. 进一步求和发现a1+a2+a3+a4=6，a5+a6+a7+a8=6，…. 根据通项公式的特点，可以判断这个特性可以推广，得到a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4=6. 进而求出S2012.

经典答案 由已知，a4n+1=（4n+1）×cos■+1=（4n+1）×cos■+1=0+1，a4n+2=（4n+2）×cos■+1=（4n+2）×cosπ+1=-（4n+2）+1，a4n+3=（4n+3）×cos■+1=（4n+3）×cos■+1=0+1，a4n+4=（4n+4）×cos■+1=（4n+4）×cos2π+1=（4n+4）+1，所以a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4=6，即S2012=■×6=3018.

■ 设an=■sin■，Sn=a1+a2+…+an，在S1，S2，…，S100中，正数的个数是（ ）

A. 25 B. 50 C. 75 D. 100

破解思路 根据正弦函数值的特点，可知当0

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图1

经典答案 对于1≤k≤25，ak≥0（唯a25=0），所以Sk>0（1≤k≤25）都为正数. 当26≤k≤49时，令■=α，则■=kα，其终边两两关于x轴对称，即有sinkα=-sin（50-k）α，所以Sk=■sinα+■sin2α+…+■sin23α+■sin24α+0+■sin26α+■sin27α+…+■sinkα=■sinα+■sin2α+…+■-■sin24α+■-■sin23α+…+■-■・sin（50-k）α，其中k=26，27，…，49，此时0

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已知数列{an}（n∈N？鄢）满足：a1=1，an+1-sin2θ・an=cos2θ・cos2nθ，其中θ∈0，■.

（1）当θ=■时，求{an}的通项公式；

（2）在（1）的条件下，若数列{bn}中，bn=sin■+cos■（n∈N？鄢，n≥2），且b1=1，求证：对于？坌n∈N？鄢，1≤bn≤■恒成立.