含参线性规划问题怎么解

开篇：润墨网以专业的文秘视角，为您筛选了一篇含参线性规划问题怎么解范文，如需获取更多写作素材，在线客服老师一对一协助。欢迎您的阅读与分享！

提问 对于不含参数的线性规划问题，如“已知x+3y-3≥0，2x-y-3≤0，x-y+1≥0；求x+y的最大值”，我知道应先根据约束条件确定可行域，再作出目标函数所在直线，通过平移目标直线，求出最优解.但对于含参线性规划问题，如“若实数x，y满足x+3y-3≥0，2x-y-3≤0，x-my+1≥0且x+y的最大值为9，求实数m的值”，我就不知该如何求解了.因为约束条件x-my+1≥0中含有参数m，所以难以确定直线x-my+1=0的具置，也就没法确定可行域. 请问含参线性规划问题该怎么解呢？

回答 含参线性规划问题一般可分为两类，一类是约束条件含参，另一类是目标函数含参. 这两类问题的解题原理是相同的，关键是理解参数的本质，并认清参数变化对直线位置产生的影响.下面，我们就以提问中的问题为例进行分析.

我们首先想到作出直线x+3y-3=0，2x-y-3=0与x-my+1=0，确定可行域.但怎么确定含参直线x-my+1=0的具置呢？令y=0，解得x=-1，可知直线x-my+1=0必过定点（-1，0）.当m≠0时，直线x-my+1=0的斜率k=≠0；当m=0时，直线x-my+1=0的斜率不存在，故直线x-my+1=0可看作绕定点（-1，0）旋转且不与x轴重合的动直线，参数m就是控制直线x-my+1=0的位置的关键要素.当参数m变化时，不等式组x+3y-3≥0，2x-y-3≤0，x-my+1≥0表示的可行域也会随之变化.

在解题时，我们不妨以静制动，先设m为一个任意的常数，作出一个确定的可行域，然后以动驭静，让含参直线旋转起来，在旋转中寻找满足“x+y的最大值为9”的参数m.

如图1所示，在直角坐标系中作出直线l1：x+3y-3=0，l2：2x-y-3=0，l3：x-my+1=0的图象.

注意：过点（-1，0）作直线l3：x-my+1=0的图象（以虚线表示）时，可以对参数m取任一常数.

记不等式组x+3y-3≥0，2x-y-3≤0，x-my+1≥0所表示的平面区域为Ⅰ（如图1所示）. 把条件“x+y的最大值为9”等价转化为不等式x+y≤9，作直线l4：x+y=9的图象，记不等式x+y≤9所表示的平面区域为Ⅱ.判断平面区域Ⅰ与平面区域Ⅱ的位置关系.由题意可知x+y的最大值为9，所以平面区域Ⅰ应恒在平面区域Ⅱ的下方.

在图1中，平面区域Ⅰ不恒在平面区域Ⅱ的下方. 将直线l3：x-my+1=0绕定点（-1，0）沿逆时针方向旋转，平面区域Ⅰ不恒在平面区域Ⅱ的下方，不满足题意.如图2所示，将直线l3绕定点（-1，0）沿顺时针方向旋转，使平面区域Ⅰ恒在平面区域Ⅱ的下方，但此时x+y的最大值小于9，所以直线l3的位置也不满足题意.

由此可见，要使x+y=9成立，区域Ⅰ和区域Ⅱ的交点必须在直线x+y=9上.

继续旋转直线l3：x-my+1=0.如图3所示，当它经过直线l1：x+3y-3=0与l4：x+y=9的交点A（12，-3）时，平面区域Ⅰ不恒在平面区域Ⅱ的下方，所以也不符合题意.

综上所述，如图4所示，当直线l3：x-my+1=0过直线l2：2x-y-3=0与l4：x+y=9的交点B（4，5）时，平面区域Ⅰ恒在平面区域Ⅱ的下方，且x+y取到最大值9，满足题意.

由l3：x-my+1=0过点（4，5），可解得m=1.

在约束条件含参的线性规划问题中，参数的本质就是控制含参直线位置的关键要素.我们可以先给参数取任意一个常数，即先把含参问题看成一个不含参问题，这样就能大致作出约束条件所表示的平面区域.再把已知最值的线性目标函数转化为一个不等式，作出该不等式表示的平面区域.根据题意平移或旋转含参直线的位置，并判断这两个平面区域的位置关系，求出参数值.

下面讲讲目标函数含参的问题. 当目标函数含参而约束条件不含参时，我们可以根据约束条件确定可行域. 在处理含参目标函数时，我们同样可以采用以上方法，先把参数看作一个常量，作出目标函数所在直线，然后根据题意平移或旋转目标函数所在直线，找出最优解.

答疑人： 杭州师范大学附属中学 冉 斌 释疑邮箱：