解排列组合问题的常用方法与技巧

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【摘要】排列组合问题和实际生活密切相关，是高中数学的重点和难点之一，又是近几年高考的必考内容。很多高中生对这部分知识的学习感到吃力，碰到此类问题常无从下手，是学习中的一个棘手问题，所以必须掌握一些常用方法和技巧，使一些看似复杂的排列组合问题迎刃而解。

【关键词】排列组合 问题 解题方法

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2012）07-0146-02

排列组合问题和实际生活密切相关，排列组合知识又是高中数学的重点和难点之一，也是进一步学好概率的基础，因此排列组合问题成了近几年高考的必考内容之一。很多高中生对这部分知识的学习感到吃力，碰到此类问题常无从下手，是学习中的一个棘手问题。解答排列组合问题，首先必须认真审题，明确问题是属于排列问题还是组合问题；其次要抓住问题的本质特征，灵活运用基本原理和公式进行分析解答；同时还要注意讲究一些方法和技巧，使一些看似复杂的问题迎刃而解。现笔者根据多年来教学教研中积累的一些解题思路与方法，结合实例介绍几种常用的解题方法与技巧供大家参考。

1.合理分类与准确分步法

解含有约束条件的排列组合问题，应按元素性质进行分类，按事情发生的连续过程分步，作到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。

例1:安排5名同学担任5种不同的班干部 ，如果甲同学不担任班长，乙同学不担任学习委员，那么共有多少种不同的安排方法？

分析:由题意可先安排甲同学，并按其分类讨论：（1）如果甲同学担任学习委员时有A■■种安排方法；（2）如果甲同学不担任学习委员时，则有A■■A■■A■■ 种安排方法，由分类计数原理，安排方法共有A■■+ A■■A■■A■■=78种。

2.特殊位置（或元素）“优先安排法”

对于带有特殊位置（或元素）的排列组合问题，一般应先考虑特殊位置（或元素），再考虑其它位置（或元素）。

例2： 从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中，甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有（ ）

A. 300种 B. 240种 C. 144种 D. 96种

分析 ：因为甲、乙不去巴黎，故从其余4人中选1人去巴黎有C■■种方法，再从剩余5人中选3人去其余3市，有A■■ 种方法，所以共有方案C■■A■■=240（种），故选B。

3.总体淘汰法

对于含有否定字眼的问题，可以从总体中把不符合要求的除去，此时需注意不能多减，也不能少减。

例3：从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有（ ）

A． 108种 B． 186种 C． 216种 D． 270种

分析：此题虽然没有否定词语，然而选出的3人中至少有1名女生，说明不能全是男生。因此选出3人有C■■种，其中都是男生的有C■■种不合题意，因此共有（C■■-C■■）A■■=186，故选B。

4. 相邻问题“捆绑法”

对于某几个元素要求相邻的排列问题，可先将相邻的元素“捆绑”起来，看作一个大元素与其他元素一起排列，然后再对相邻元素内部之间进行排列。

例4：书架上有4本不同的数学书，5本不同的物理书，3本不同的化学书，全部竖起排成一排，如果不使同类的书分开，一共有多少种排法？

分析：由于同类书不分开，即把4本数学书，5本物理书，3本化学书分别捆成一捆，看作3个大元素进行排列有A■■种，每捆内部的排列分别有A■■种，A■■种，A■■种，由分步计数原理共有排法：A■■A■■A■■A■■=103680（种）。

5．不相邻问题“插空法”

对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，然后再将不相邻的元素在已排好的元素之间及两端的空隙中插入即可。

例5:一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,若舞蹈不能挨着,则节目顺序有多少种不同的排法？

分析:先排2个相声和3个独唱，有A■■种排法，再在这些节目之间及两端的6个“空”中选4 个让舞蹈插入，有A■■ 种排法，这样共有 A■■A■■=43200种不同排法。

6.顺序固定问题用“除法”

对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行排列，然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数。

例6:5男3女列成一队，若女的顺序一定，则共有多少种不同的排法？

分析：因8人的全排列数为A■■种，3女的全排列为A■■，而3女顺序一定，则所求排列数为■=6720种。

7.分排问题“直排法”

把几个元素排成前后若干排的排列问题，若没有其它的特殊要求，可采取统一排成一排的方法来处理。

例 7 某班48 位同学坐在8排座位上，每排坐6人，则不同的坐法有多少种？

分析 48位同学可以在8排座位上随意就坐，再无其它条件，故8排可看作一排来处理，不同的坐法共有A■■种。

8.正难反易“转化法”

对于一些生疏问题或直接求解较为复杂或较为困难的问题，从正面入手情况较多，不易解决，这时可从反面入手，将其转化为一个简单问题来处理。

例8：用1～6这六个数字，可组成比200000大且百位数不是3的无重复数字的六位数多少个?

分析：乍读起来，比较乱，但细想起来，比200000大其实就是最高位不是1就可以了，因此，把问题想成“1”不在最高位，“3”不在百位，念着念着，你便恍然大悟。这不和例1甲同学不担任班长，乙同学不担任学习委员一样吗? 因此可转化成例l方法来解决，共有A■■+A■■A■■A■■ = 504个。

9．混合应用问题“先选后排法”

对于排列与组合的混合问题，可采用先选出元素后排列的办法。

例9：某学习小组有5名男生3名女生，要从中选取2名男生1名女生参加数学、物理、化学三科竞赛，要求每科均有一人参加，共有多少种不同的选法？

分析 （1）选：从5名男生中选2名有C■■种选法，从3名女生中选1名有C■■种选法；（2）排：3名学生分别参加三科竞赛，即进行全排列有A■■种，故所求选法有C■■C■■A■■=180种。

10.构造模型 “隔板法”

对于较复杂的排列问题，可通过设计另一情景，构造一个隔板模型来帮助解决问题。

例10：高中二年级8个班，组织一个12人年级学生分会，每班至少1人，名额分配有多少种不同方法？

分析：将此问题转化为：把12个相同的名额分成8份，有多少种不同分法？因此需把这12个“名额”排成一行，用7个隔板隔在其11个空档上，即可将名额分成8份，显然有C■■种不同的分法，所以名额分配方法有C■■=330种。

除了上述方法外，有时还可以通过设未知数，借助方程来解答，简单一些的问题可采用列举法，还可以利用对称性或整体思想来解题等等。排列组合问题不仅内容抽象，解法灵活，而且解题过程极易出现“重复”和“遗漏”的错误，这些错误甚至不容易检查出来，所以解题时要注意不断积累经验，总结解题规律，掌握若干技巧，最终达到能够灵活运用。