生活中的一次函数

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众所周知，一次函数的表达式综合了一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组等知识，并能较好地实现数与形的有机结合，在生活中的应用极为广泛，因此一次函数应用题一直是中考试题中频繁出现的考点，是近年中考数学命题的热点之一。下面举例说明。

一、行程问题

例1（2013年湖北省宜昌市中考题）A、B两地相距1 100米，甲从A地出发，乙从B地出发，相向而行，甲比乙先出发2分钟，乙出发7分钟后与甲相遇，设甲、乙两人相距y米，甲行进的时间为t分钟，y与t之间的函数关系如图1所示。请你结合图像探究：

（1）甲的行进速度为每分钟＿＿＿米，m＝＿＿＿分钟。

（2）求直线PQ对应的函数表达式。

（3）求乙的行进速度。

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分析（1）由图像知，2分钟时，甲的行进路程为1 100－980＝120（米），可得甲的行进速度为60（米/分钟），由图像再结合题意可知，相遇时y＝0，此时m＝2+7＝9（分钟）；（2）根据P、Q两点坐标，用待定系数法求直线PQ对应的函数表达式；（3）应用相遇时路程和为1 100米列方程，即可求乙的行进速度。

解（1）甲的行进速度＝■＝60（米/分钟），m＝2+7＝9（分钟）。

（2）设PQ所在直线的解析式为y＝kt+b。因为P（0，1 100），Q（2，980）在直线PQ上，所以b=1 100,2k+b=980,解得k=-60,b=1100。所以直线PQ的函数关系式为

y＝－60t+1 100。

（3）设乙的行进速度为x米/分钟，由题意得60×9+7x＝1 100，解得x＝80（米／分钟），所以乙的行进速度为80米/分钟。

二、方案选择

例2（2013年湖北省襄阳市中考题）某社区活动中心为鼓励居民加强体育锻炼，准备购买10副某种品牌的羽毛球拍，每副球拍配x（x≥2）个羽毛球，供社区居民免费借用。该社区附近A、B两家超市都有这种品牌的羽毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的标价均为30元，每个羽毛球的标价均为3元，目前两家超市同时在做促销活动。

A超市：所有商品均打九折（按标价的90%）销售；

B超市：买一副羽毛球拍送2个羽毛球。

设在A超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为yA（元），在B超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为yB（元）。请解答下列问题：

（1）分别写出yA和yB与x之间的关系式；

（2）若该活动中心只在一家超市购买，你认为在哪家超市购买更划算？

（3）若每副球拍配15个羽毛球，请你帮助该活动中心设计出最省钱的购买方案。

分析（1）根据题意，直接写出yA和yB与x之间的关系式。（2）问在第（1）问的基础上，分类讨论，得到对应的自变量x的取值范围。（3）问须在（2）问的基础上再次分类讨论，特别需要提醒的是，这里不再限制“只在一家超市购买”，所以要考虑到B超市免费送羽毛球的情况，经过计算、比较，得到最佳的购买方案。

解（1）依题意，得yA＝27x+270，yB＝30×10+3×（x-2）×10=30x+240。

（2）当yA＝yB时，27x+270＝30x+240，解得x＝10；当yA＞yB时，27x+270＞30x+240，解得x＜10；当yA＜yB时，27x+270＜30x+240，解得x＞10。

所以当2≤x＜10时，到B超市购买划算；当x＝10时，两家超市都一样；当x＞10时，到A超市购买划算。

（3）因为x＝15＞10，所以①选择在A超市购买，yA＝27×15+270＝675（元）；②可先在B超市购买10副羽毛球拍，送20个羽毛球，后在A超市购买剩下的羽毛球（10×15－20＝130个），则共需费用：10×30+130×3×0.9＝651（元）。而651＜675，所以最省钱的购买方案是：先在B超市购买10副羽毛球拍，后在A超市购买130个羽毛球。

三、产品销售

例3（2013年湖北省荆州市中考题）某个体户购进一批时令水果，20天销售完毕。他将本次销售情况进行了跟踪记录，根据所记录的数据可绘制如图2所示的函数图像，其中日销售量y（千克）与销售时间x（天）之间的函数关系如图2-甲所示，销售单价p（元/千克）与销售时间x（天）之间的函数关系如图2-乙所示。

（1）直接写出y与x之间的函数关系式；

（2）分别求出第10天和第15天的销售金额。

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分析（1）从图像不难看出，y与x之间属于分段函数关系，一段是正比例函数，一段是一次函数，根据图像上的点(15，30)、(20，0)，运用待定系数法即可求解。（2）需要从图2-甲中获取第10天和第15天的日销售量信息，从图2-乙中计算这两天的销售单价，两者之积即为销售金额。

解（1）依题意得，当0≤x≤15时，设其解析式为y＝kx，则有30＝15k，解得k＝2，所以y＝2x；当15＜x≤20时，设其解析式为y＝kx+b，则有30=15k+b，0=20k+b。解得k=-6,b=120。

所以y与x之间的函数关系式为y＝2x（0≤x≤15），-6x+120（15＜x≤20）。

（2）设销售单价p（元/千克）与销售时间x（天）之间的函数关系为

p＝kx+b（10≤x≤20），把(10，10)、(20，8)代入，得10k+b=10，20k+b=8。解得k=-■，b=12。所以p＝－■x+12（10≤x≤20）。当x＝15时，p＝－■×15+12＝9（元/千克）。即第10天的销售金额为：2×10×10＝200（元）；第15天的销售金额为：30×9＝270（元）。