时变时滞非线性系统的间歇控制
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フ 要:时变时滞广泛存在于各种非线性系统中，研究了时变时滞非线性系统的间歇控制及其在保密通信中的应用问题,提出了一种间歇控制策略，理论上分析了其正确性，并且给出一个定理来确定控制器的相关参数。根据提出的定理，设计出间歇控制器使得两个含有时变时滞的Chua电路指数达到同步。将该方法应用到混沌保密通信中，在两个系统达到同步的基础上，发送端的信号能够在接收端很好地恢复出来，表明了该方法的可行性。
ス丶词:间歇控制；时变时滞；指数同步；保密通信； Chua电路
ブ型挤掷嗪: TP309.2 文献标志码:A
Abstract: Timevarying delay widely exists in nonlinear systems. This paper investigated the intermittent control problem of nonlinear systems with timevarying delay and its applications in chaotic secure communications. The authors proposed an intermittent control scheme, and analyzed its correctness theoretically. Moreover, a theorem was also given to determine the corresponding parameters in the controller. According to the proposed theorem, the synchronization of two chaotic Chua’s circuits can be achieved by designing intermittent controller. The method was applied to chaotic secure communications, and the sender’s signal could be recovered well at the receiving end after the synchronization was achieved. This also shows that the proposed method has some engineering applications.
Key words: intermittent control; timevarying delay; exponential synchronization; secure communications; Chua’s circuit
0 引言
混沌是非线性动力系统固有的一种行为，是服从某种确定规律，但同时又具有一定随机性的一种运动形式。由于混沌时间序列具有非周期性、连续宽频谱、类似噪声、高度类随机性、对初值的敏感依赖性等诸多性质，使得混沌在保密通信和扩频通信中展现出了很好的应用价值。自从1990年Pecora等人［1］提出了混沌同步的原理, 并在电路中得以实现以来, 各国学者们掀起了一股将混沌应用包括保密通信、扩频通信在内的信息安全领域的热潮。近年来， 各种混沌同步方法不断提出, 主要有状态反馈同步控制［2］、耦合同步控制［3］、脉冲控制［4］、观测器同步控制［5］等。纵观现在已有的混沌同步方法，大多都是基于连续控制进行的，不连续的控制策略还很少被研究。然而，以连续控制方法为基础的混沌保密通信方案很容易被跟踪或者复制，这大大限制了这些方法在混沌保密通信中的应用［6-8］。周期间歇控制是不连续的控制方法中的一种，目前这方面的研究还较少。其基本思想是在一系列的时间段上注入一定强度的控制量，通过改变系统的状态变量来使系统达到同步。虽然周期间歇控制同步法使得单位时间内传输的有用信息量减少，但在保密通信的实际应用中，由于密钥的“支离破碎”将使得其加密的信息被窃取后难以破译［6-7］，从而增强了系统的保密性能。
另一方面，时滞尤其是时变时滞广泛存在于非线性动力系统中［9-12］。时滞对系统动力学行为的影响是巨大的，因为它可以将一个有限维系统映射为无穷维系统(因为时滞系统对应的特征方程为超越方程，具有无穷多个实根)。一般来说，在混沌保密通信中，当接收和发送端系统因为受到外界影响，如传输延迟，而变成时滞动力系统时，传统的混沌同步发都失效［8］。为此，研究一种不连续的控制方法来同步时变时滞的混沌系统就显得尤为必要。
本文研究了时变时滞非线性系统的间歇控制及其在保密通信中的应用问题。设计出一种间歇控制策略，理论上严格分析了其正确性，并且给出一个定理来确定控制器的相关参数。根据提出的结果，我们设计出间歇控制器使得两个含有时变时滞的Chua电路指数达到同步。最后，将该方法应用到混沌保密通信中，在两个系统达到同步的基础上，发送端的信号能够在接收端很好地恢复出来，表明了该方法的有一定的工程应用前景。
1 问题描述
在本章，我们给出一类抽象的时变时滞非线性动力系统的周期间歇控制策略。假设驱动系统和响应系统用微分方程分别描述为:
(t)=Ax(t)+Bf(t,x(t),x(t-τ(t)))
(t)=Ay(t)+Bf(t,y(t),y(t-τ(t)))+u(t) (1)
其中x(t),y(t)∈Rn是状态向量；f:R+×Rn×RnRn是一个连续的向量值非线性函数；
时滞Е(t)是已知的，或者是未知的但是以某一个常数为有界的，即0≤τ(t)≤τ。给定x(t;t0,x0)∈Rn，其中x0∈RnП硎臼(1)的第一个方程的初始值，是时滞动力系统(1)的第一个方程的解。本文的目的就是设计一种合理的间歇控制策略u(t)Ю词沟檬敝拖低呈(1)的第二个方程的解y(t)能够全局渐近追踪(1)的第一个方程的解x(t)，Ъ椽И┆limt∞x(t)-y(t)=0，其中•П硎鞠蛄康Eucleaden范数。
为了达到此目的，我们设计出以下的间歇控制策略
u(t)=d(t)(y(t)-x(t))(2)
其中间歇反馈控制增益d(t)Фㄒ逦
d(t)=
-d,t∈［mT,mT+δ)
0,t∈［mT+δ,(m+1)T) (3)
其中：d>0是一个正常数，T>0是控制周期，Е>0是一个周期内的控制宽度。
定义同步误差e(t)=y(t)-x(t)∈RnШ涂刂坡湿Е=δ/T，Ц据间歇控制器(3)，并根据式(1)，不难得到
e(t)=
Ae(t)+Bf~(t,x(t),y(t),x(t-τ(t)),y(t-τ(t)))-de(t),
t∈［mT,(m+θ)T)
Ae(t)+Bf~(t,x(t),y(t),x(t-τ(t)),y(t-τ(t))),
t∈［(m+θ)T,(m+1)T) (4)
其中Иf~(t,x(t),y(t),x(t-τ(t)),y(t-τ(t)))=f(t,y(t),y(t-τ(t)))-f(t,x(t),x(t-τ(t)))。オ
很容易看出，在间歇控制器(2)的作用下，如果式(4)零解，e(t)=0，全局渐近指数稳定，那么响应系统将会全局指数收敛到驱动系统。 为了便于下面的理论分析，需要以下的条件。
假设1［9］ 对于向量值函数f(t,x(t),x(t-τ(t)))，О胍恢Lipschitz条件成立。即对于任意的向量x(t),y(t)∈Rn，都存在两个正常数L1,L2，使得以下不等式成立:オ
Вx(t)-y(t)］T［f(t,x(t),x(t-τ(t)))-f(t,y(t),
y(t-τ(t)))］≤L1［x(t)-y(t)］T［x(t)-y(t)］+
L2［x(t-τ(t))-y(t-τ(t))］T［x(t-τ(t))-
y(t-τ(t))］オ
假设1给出了系统中非线性函数必须满足的条件。实际上，假设1比通常的一致Lipschitz条件还要弱一些。一致Lipschitz条件可以描述为：对于任意的两个向量x(t),y(t)∈Rn，总是存在两个正常数K1,K2，使得f(t,x(t),x(t-τ(t)))-f(t,y(t),y(t-τ(t)))≤K1x(t)-y(t)+K2x(t-τ(t))-y(t-τ(t))。这时可以取L1=K1+K2/2,L2=K2/2Ю词沟眉偕1成立。而且，很容易验证著名的带或者不带时滞的Lorenz系统、Rossler系统、Chen系统、Chua电路，以及经典的Hopfiled神经网络，细胞神经网络(Cellular Neural Network，CNN)等一系列非线性系统均满足假设1。可见，假设1具有较强的普适性。
2 主要结论
定理1 对于驱动系统和响应系统,在间歇控制器(2)的作用下，如果控制参数满足以下条件：
1)A-dIn+a1In+BL1In
2)A+BL1In-(a2-a1)In≤0オ
3)a1>BL2>0オ
4)Е=ξ-2a2(1-θ)>0И
在下面的推导中，为了方便描述，将2BL2记为L^2。
上式中Е>0是方程-2a1+ε+2L^2exp(ετ) = 0的唯一正根，In表示n维单位矩阵。那么，误差系统(4)将全局指数稳定于e(t)=0。オ
证明 构建如下的Lyapunov函数：
V(t)=12eT(t)e(t)(5)
情形1 当mT≤t
ИV•(t)=eT(t)(t)=
eT(t)［Ae(t)+Bf~(t,x(t),y(t),x(t-τ(t)),
y(t-τ(t)))-de(t)］=eT(t)Ae(t)+
eT(t)B[f(t,y(t),y(t-τ(t)))-f(t,x(t),
x(t-τ(t)))]-deT(t)e(t)≤eT(t)［A-dIn］e(t)+
BeT(t)f(t,y(t),y(t-τ(t)))-
f(t,x(t),x(t-τ(t)))≤eT(t)［A-dIn］e(t)+
B[L1eT(t)e(t)+L2eT(t-τ(t))e(t-τ(t))]=
eT(t)［A-dIn+a1In+BL1In］e(t)-
2a1V(t)+2BL2V(t-τ(t))≤
-2a1V(t)+2BL2V(t-τ(t))オ
情形2 当(m+θ)T≤t
ИV•(t)=eT(t)(t)=
eT(t)［Ae(t)+Bf~(t,x(t),y(t),x(t-τ(t)),
y(t-τ(t)))］=eT(t)Ae(t)+
eT(t)B［f(t,y(t),y(t-τ(t)))-f(t,x(t),
x(t-τ(t)))］≤eT(t)Ae(t)+
BeT(t)f(t,y(t),y(t-τ(t)))-
f(t,x(t),x(t-τ(t)))≤
eT(t)Ae(t)+B[L1eT(t)e(t)+
L2eT(t-τ(t))e(t-τ(t))]=
eT(t)［A+BL1In-(a2-a1)In］e(t)+
2(a2-a1)V(t)+2BL2V(t-τ(t))≤
2(a2-a1)V(t)+2BL2V(t-τ(t))オ
综上，有以下结果：
ИV•(t)≤-2a1V(t)+2BL2V(t-τ(t)),
mT≤t
V•(t)≤2(a2-a1)V(t)+2BL2V(t-τ(t)),
(m+θ)T≤t
接下来证明，在定理1中的条件3)和4)下，以下不等式恒成立：
V(t)≤┆sup-τ≤s≤0V(s)exp(-ωt)；t≥0(7)
记g(ε)=ε-2a1+2L^2 exp(ετ)。因为a1>BL2>0，故g(0)0,且g′(ε)=1+2L^2τ exp(ετ)>0。 利用函数g(ε)的连续性和单调性，方程│-2a1+2L^2 exp(ετ)=0有唯一的正根ξ>0。取M0=┆sup-τ≤s≤0V(s),W(t)=exp{ξt}V(t)，其中t≥-τ。令Q(t)=W(t)-hM0，其中h>1是一个常数。很容易知道下式成立
Q(t)
接下来证明下式成立：
Q(t)
如果式(9)不成立，则存在某一个t0∈［0,θT)使得下式成立：
Q(t0)=0, Q•(t0)≥0
Q(t)
利用式(9)和(10)，得到
ИQ•(t0)=ξW(t0)+exp{ξt0}V•(t0)≤ξW(t0)-
2a1exp{ξt0}V(t0)+2L^2exp{ξt0}V(t0-τ(t0))≤
(ξ-2a1)W(t0)+2L^2exp{ξτ}W(t0-τ(t0))
(ξ-2a1+2L^2exp{ξτ})hM0=0(11)
由此可见式(11)与式(10)矛盾，故式(9)恒成立。
现在证明对于t∈［θT,T)，有以下不等式恒成立。オ
H(t)=W(t)-hM0exp{2a2(t-θT)}
否则，存在一个t1∈［θT,T)使得下式成立：
H(t1)=0,H•(t1)≥0
H(t)
(13)
对于Е(t)≥0，如果ЕT≤t1-τ(t1)
W(t1-τ(t1))
并且，如果-τ≤t1-τ(t1)
W(t1-τ(t1))
因此，对于Е(t)≥0，ё苁怯歇
W(t1-τ(t1))
然而，
ИH•(t1)=ξW(t1)+exp{ξt1}V•(t1)-
2a2hM0exp{2a2(t1-θT)}≤ξW(t1)+
2(a2-a1)exp{ξt1}V(t1)+2L^2exp{ξt1}V(t1-
τ(t1))-2a2hM0exp{2a2(t1-θT)}≤
(ξ+2a2-2a1)W(t1)+2L^2exp{ξτ}W(t1-
τ(t1))-2a2hM0exp{2a2(t1-θT)}
(ξ-2a1+2L^2exp{ξτ})hM0exp{2a2(t1-θT)}=0(17)
这与式(13)矛盾。因此，式(12)恒成立。
因此，对于t∈［θT,T)，オ
W(t)
另一方面，对于t∈［-τ,θT)，Ц据式(8)和式(9)，有
W(t)
故W(t)
相似地，可以证明对于t∈［T,(1+θ)T),有オ
W(t)
并且对于t∈［(1+θ)T),2T),有オ
W(t)
由归纳法，对于任意的整数m,W(t)в腥缦碌墓兰啤＊
对于mT≤t
W(t)
并且对于(m+θ)T≤t
W(t)
因为对于任意的t≥0，ё苁谴嬖谝桓龇歉旱恼数k，使得kT≤t
W(t)
hM0exp{2a2k(1-θ)t}(24)
并且对于(k+θ)T≤t
W(t)
hM0exp{2a2(1-θ)t}(25)
令h1，в瑟W(t)У枚ㄒ澹有
V(t)≤M0exp{-［ξ-2a2(1-θ)］t}=
M0exp{-ωt}; t≥0(26)
可以看出式(7)恒成立。证毕。
3 仿真实验
第2章从理论上严格分析了本文所提出的间歇控制器的正确性。为了验证这个结论，给出如下的仿真实验。选择带时变时滞的Chua电路作为研究对象，其数学模型［9］可以描述为：
И1(t)お2(t)お3(t)=Ax1(t)x2(t)x3(t)+Bf1(x1(t))0f2(x1(t-τ(t)))(27)
其中，A=-α0(1+m2)α001-110-β0-ω0,B=I3, f2(x1(t-τ(t)))=[0，0，-βρ0sin (vx1(t-τ(t)))], f1(x1(t))=┆[-12α0(m1-m2)(|x1(t)+1|-|x1(t)-1|),0,0],│=10, β=19.53, ω0=0.163B6, m1=-1.432B5, m2=-0.783B1,v=0.5,ρ0=0.2,τ(t)=0.2|sin (t)|。 オ
限于篇幅，这里只给出驱动系统，响应系统具有相同的形式和参数(变量y(t))。首先，验证假设1。 通过不等式放缩，不难知道以下不等式成立：
Вy1(t)-x1(t),y2(t)-x2(t),y3(t)-x3(t)］T
［f1(y1(t))-f1(x1(t)),0, f2(y1(t-τ(t)))-
f2(x1(t-τ(t)))］≤L1e(t)2+
L2e(t-τ(t))2お
其中：L1=max{1,4α2(m1-m2)2},L2=(β2ρ20v2)/2。オ
通过验证定理1中的4条件，发现当选择间歇控制器的参数T=5,δ=2.5,d=10时满足条件。首先给出系统(27)的混沌吸引子，如图1所示，图1(a)、(b)、(c)分别表示系统的混沌吸引子在相平面x1x2、x1x3、x2x3上的投影。オ
在间歇控制器的作用下，两个时变时滞混沌Chua电路达到了同步，同步结果如图2所示。其中，图2(a)、(b)、(c)分别表示同步误差e1(t)、Иe2(t)、Иe3(t)随时间的响应图。图2(d)表示间歇控制信号u(t)У拇嬖谟敕(1表示存在控制信号；0表示不存在控制信号)。
下面讨论将该同步方法应用到混沌保密通信中。在实验过程中，假设发射端的需要传输信号为m(t)=5sin(t)cos(t),利用混沌系统(27)的第一路信号对传输信号进行混沌遮掩。即，信道上的传输信号为m′(t)=x1(t)+5sin(t)cos(t)，总的仿真时间为t=50@s，在t0=25@s时对信号进行混沌解密m″(t)=m′(t)-y1(t)。 定义同步误差E(t)=[(y1(t)-x1(t))2+(y2(t)-x2(t))2+(y3(t)-x3(t))2]1/2Х抡媸笛榻峁如图3所示。
从实验结果图3(a)可以发现，在解密之前，传输信号具有很好的伪机性，这就保证了信号的传输过程中不容易被破译。从图3(b)可知在信号解密之后，有用信号在极短的时间之内被恢复出来,其主要原因是间歇控制是一种指数速率同步方法。以上实验结果充分说明本文研究方法是十分有效的。
4 结语
考虑到时滞，尤其是时变时滞的普遍存在性，本文研究了非线性系统的一种间歇控制方法。理论上严格分析了控制器的正确性,并将该方法用于保密通信中，信号能很快很好地恢复出来，这是因为在这种间歇控制器的作用下，误差系统是以指数速率收敛的。仿真结果说明了这种不连续的控制方法有一定的工程应用前景。
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