偶数与自然数一样多

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伽利略

（Galileo Galilei，1564～1642），意大利数学家、物理学家、天文学家，科学革命的先驱。伽利略发明了摆针和温度计，在科学上为人类做出了巨大贡献，是近代实验科学的奠基人之一。

偶数与自然数，哪一种数多？这时，恐怕同学们都会说：“当然是自然数比偶数多了。”可能还会有同学说：“偶数个数等于自然数个数的一半！”什么道理呢？因为奇数与偶数合起来就是自然数，而奇数与偶数是相间排列的，所以奇数与偶数一样多，其个数都是自然数的一半。

自然数包括偶数，偶数是自然数的一部分，自然数比偶数多这不是显而易见、再明白不过的事吗？听起来好像确实是这么一回事，可事实是不是这样的呢？

16世纪，意大利著名科学家伽利略给出了正确的答案。他曾提出过一个著名的悖论，叫作“伽利略悖论”，内容就是偶数和自然数一样多。这似乎违背常识，因为在1～10中，你只要数一下，就可以知道自然数有10个，偶数有5个，两者相比较，很清楚，自然数比偶数多5个。但这是在有限的情况下，毕竟自然数和偶数可远不止那几个，所以在比较两者数量的时候这往往是不正确的，为此伽利略提出了无限的问题。对于无限的数量，数的办法是不行了，因为无限多是永远数不完的。

那有什么方法可以用来比较它们的数量呢？其实，我们可以用“一对一”的方法来进行比较。一一对应是比较物体的集合是否相等的最简便、最直接的方式。比如教室里有48个座位，老师走进教室，一看座位坐满了，他不必张三李四一个一个地点名，便知道此时听课的学生人数为48。这是因为每个人都占了一个座位，而每个座位上都坐着一个人，两者建立了一一对应的关系。如果这时空了一些座位，老师就知道听课的学生人数少于48，因为部分小于整体。

这种方法同样可以用在无限上，关键看要比较的两者之间能否建立起这种一一对应的关系。如果能建立，我们就可以认为两者的数量相等。伽利略在自然数与偶数之间建立了如下的对应关系。

自然数：0 1 2 3 4 5 6 …… n

偶 数：0 2 4 6 8 10 12 ……2n

给出一个自然数，我们可以找出一个偶数与之对应，给出的自然数不同，与之相对应的偶数也不同；反过来，对于每一个偶数，我们都可以找到一个自然数与其对应，偶数不同，所对应的自然数也不同；由此我们称自然数与偶数之间建立了一一对应的关系，所以自然数与偶数一样多。其实不仅偶数与自然数一样多，所有3的倍数、4的倍数也与自然数一样多。

在无限中，“部分”可以等于“整体”。如果一个量等于它的一部分量，那么这个量必是无限量；反之，无限量必然可以等于它的某一部分量。