对比分析 洞悉三角与向量

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从近几年高考数学试卷来看，考纲规定的三角函数与向量的考点都有考查，分值一般为26分左右． 从考试题型和难度来看，每年高考都有一两道小题涉及三角函数与向量的传统知识，难度中档；三角函数有的年份有一道大题，着重考查三角函数的图象和性质或三角计算，难度不大. 三角函数还常和向量结合在一起考查. 平面向量是高中数学的新增内容，也是高考的一个新亮点． 向量知识及向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用． 向量具有代数形式和几何形式的“双重身份”，融数形于一体，与中学数学的许多主干知识综合，为高考命题提供了广阔的平台．

[⇩] 知识梳理

1． 三角函数为正的规律：一全正，二正弦，三是切，四余弦.

2． 诱导公式规律：奇变偶不变，符号看象限.

3． （1）正（余）弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心为图象与x轴的交点（振幅关于x轴对称）；

（2）正（余）切型函数的对称中心是图象与x轴的交点或渐近线与x轴的交点,但没有对称轴（y轴方向无平移时）．

4． 两种三角变换（A>0，ω>0）

（1）先平移后伸缩：y＝sinxy＝sin（x＋φ）y＝sin（ωx＋φ）y＝Asin（ωx＋φ）；

（2）先伸缩后平移：y＝sinxy＝sin（ωx）y＝sin（ωx＋φ）y＝Asin（ωx＋φ）；

5． 两个非零向量平行的充要条件（a=（x1，y1），b=（x2，y2），λ为实数）

（1）向量式：a∥b⇔存在λ使得a=λb；

（2）坐标式：a∥b⇔x1y2－x2y1=0.

6． 两个非零向量垂直的充要条件（a=（x1，y1），b=（x2，y2））

（1）向量式：ab⇔a・b=0；

（2）坐标式：ab⇔x1x2+y1y2=0.

7． 设a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a・b =|a||b|cosθ=x1x2+y1y2，其几何意义是a・b等于a的长度与b在a上投影的长度的乘积.

8． 数量积的坐标表示

（1）若a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a・b=x1x2+y1y2；

（2）若a=（x，y），则a2=a・a=x2+y2， |a|=；

（3）若A（x1，y1），B（x2，y2），则

=（两点距离公式）.

[⇩] 模拟调研

1． 向量及三角函数平移

模拟题1（2008重庆，中）将f（x）=cos

x－的图象按向量c平移，得到函数f（x）=cosx+1，则c可以是（）

A．

，1 B．

－,1

C．

,－1 D．

－，－1

简析 将f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到f（x）=cosx+1的图象． 故选B．

高考题1（2008福建，中）函数 f（x）=cosx，x∈R的图象按向量（m，0） 平移后，得到函数y=－f ′（x）的图象，则m的值可以为（）

A．B． πC． －π D．－

点评 该模拟题主要考查了向量、三角函数平移问题，而高考题把向量、三角、导数融于一体，知识点较多，立意新颖，能够考查同学们对基础知识的理解程度以及分析问题和解决问题的能力．在知识交汇点命题是高考的一个亮点，估计2009年高考对三角函数图象平移的考查除了传统题型外，还可能与三角函数的单调性、对称性、最值等交汇命题． 试题类型主要是选择题．

2． 向量的基本运算及分解

模拟题2（2008北京西城区，易）已知P，A，B，C是平面内四点，且++=，那么一定有（）

A． =2 B． =2

C． =2 D． =2

简析由=+代入已知得=2． 故选D．

高考题2（2008辽宁，易）已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2+=0，则等于（）

A． 2－

B． －+2

C． －

D． －+

点评该模拟题考查了向量的基本运算及分解方法，此高考题和模拟题的考查点相同．估计2009年高考对向量基本运算的考查形式：①以类似的形式出现；②在三角形或四边形中结合考查平面向量的基本定理的形式出现． 试题类型主要是选择题．

3． 和（差）向量的长度

模拟题3（2008北京东城区，易）已知向量a，b满足|a|=2，|b|=3，|2a+b|=，则向量a，b的夹角为（）

A． 30°B． 45°C． 60°D． 90°

简析 求向量a，b夹角的关键是求出数量积，将|2a+b|=平方可求得a・b=3，所以cosθ==． 故选C．

高考题3（2008江苏，易）已知向量a和b的夹角为120°，|a|=1，|b|=3，则|5a－b|=_______．

点评该模拟题考查了向量夹角公式及和向量的长度，高考题是知道夹角求差向量的长度，两题的关键都是对和、差向量的长度作平方处理，这是平面向量的主要考点之一．2009年高考中对向量的夹角、和或差，向量的模的考查，估计还会以这种形式出现． 试题类型主要是选择题、填空题．

4． 以不等式为背景找范围

模拟题4（2008河北衡水，中）在（0，2π）内，使sinx≥cosx成立的x的取值范围是（）

简析 由x∈（0，2π）且sinx≥cosx，得0

sin2x≥cos2x，解得≤x≤. 故选D．

高考题4（2008四川，中）若0≤α≤2π，sinα>cosα，则α的取值范围是（）

A．

点评该模拟题和高考题均以不等式为背景，考查同学们对三角函数基础知识、同角三角函数之间的关系等的掌握情况及恒等变形的能力，考查利用数形结合的思想解题的技巧． 估计2009年高考对三角不等式、利用数形结合的思想解题依然是热点，试题类型主要是选择题和填空题．

5． 周期性及对称性

模拟题5（2008河北石家庄，中）已知函数f（x）=2sinω

x+，ω>0的最小正周期为4π，则该函数的图象（）

A． 关于点

，0对称

B． 关于直线x=对称

C． 关于点

，0对称

D． 关于直线x=对称

简析 T=4π，ω=，所以f（x）=sin

+，令+=kπ，解得x=2kπ－，k∈Z． 当k=1时，x=． 故选A．

高考题5（2008湖北，中）将函数y=sin（x－θ）的图象F向右平移个单位长度得到图象F ′，若F ′的一条对称轴是直线x=，则θ的一个可能取值是（）

A． B． －

C． D． －

点评 该模拟题直接考查三角函数的周期性及对称性，而高考题打破常规，把三角函数图象平移与对称性相结合，求参量的值，形式新颖别致，更能考查同学们分析问题、解决问题的能力． 估计2009年高考除了会直接考查三角函数的对称性外，极有可能与其他的性质交汇命题． 试题类型主要是选择题或填空题．

6． 平面向量坐标运算

模拟题6（2008山东，中）已知向量a=sinx，

，b=（cosx，－1）．

（Ⅰ）当a∥b，求2cos2x－sin2x；

（Ⅱ）求f（x）=（a+b）・b在

－，0的值域．

简析（Ⅰ）由a∥b可得tanx=－，所以原式===．

高考题6（2008福建，中）已知向量m=（sinA，cosA），n=（，－1），m・n=1，且A为锐角．

（Ⅰ）求角A的大小；

（Ⅱ）求函数f（x）=cos2x+4cosAsinx（x∈R）的值域．

点评 模拟题和高考题均主要考查平面向量坐标、三角公式及三角函数的性质等基本知识，同时考查推理和运算能力．三角函数与平面向量结合的基本模式是以向量的坐标运算为依托，考查三角函数的有关内容． 这种形式是高考命题的亮点之一，估计在2009年高考中仍然会在17或18题中出现．