“磁偏转模型”在有界磁场中的应用

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带电粒子垂直进入磁场做匀速圆周运动.但从近年的高考来看，带电粒子垂直进入有

界磁场中发生偏转的情况更多，其中运动的空间还可以是组合形式，如匀强磁场与真空组

合、匀强磁场、匀强电场组合等，这样就引发出临界问题、数学问题等诸多综合性问题.

例1 一质点在一平面内运动，其轨迹如图1所示.它从A点出发，以恒定速

率经时间t到B点，图中x轴上方的轨迹都是半径为R的半圆，下方的都是半径为r的半圆.

（1）求此质点由A到B沿x轴运动的平均速度.

（2）如果此质点带正电，且以上运动是在一恒定（不随时间而变）的磁场中发生的，试尽可能

详细地论述此磁场的分布情况.不考虑重力的影响.

解析 （1）由A到B，若上、下各走了N个半圆，则其位移

Δx=N2（R―r）[JY]①

其所经历的时间Δt=N[SX（]π（R+r）[]v0[SX）][JY]②

所以沿x方向的平均速度为

[AKv―D]=[SX（]Δx[]Δt[SX）]=[SX（]2v0（R―r）[]π（R+r）[SX）].

（2）Ⅰ.根据运动轨迹和速度方向，可确定加速度（向心加速度），从而确定受力的方向，再根

据质点带正电和运动方向，按洛伦兹力的知识可断定磁场的方向必是垂直于纸面向外.

Ⅱ.x轴以上和以下轨迹都是半圆，可知两边的磁场皆为匀强磁场.

Ⅲ.x轴以上和以下轨迹半圆的半径不同，用B上和B下分别表示上、下的磁感应强度，用

m、q和v分别表示带电质点的质量、电量和速度的大小；则由洛伦兹力和牛顿定律可知，

qvB上=m[SX（]v20[]R[SX）]、

qvB下=m[SX（]v20[]r[SX）]，

由此可得[SX（]B上[]B下[SX）]=[SX（]r[]R[SX）]，即下面磁感应强度是上面的[SX（]R[]r

[SX）]倍.从圆的完整性来看：完整的圆周运动和一段圆弧运动，即不完整的圆周运动.无

论何种问题，其重点均在圆心、半径的确定上，而绝大多数的问题不是一个循环就能够得出

结果的，需要有一个从定性到定量的过程.

回旋模型三步解题法.

①画轨迹.已知轨迹上的两点位置及其中一点的速度方向；已知轨迹上的一点位置及其

速度方向和另外一条速度方向线.

②找联系.速度与轨道半径相联系，往往构成一个直角三角形，可用几何知识（勾股定

理或用三角函数），或已知角度与圆心角的联系.常用的结论是“一个角两边分别与另一个

角的两个边垂直，两角相等或互余”；时间与周期相联系，t=[SX（]θ[]2π[SX）]T；

③利用带电粒子只受洛伦兹力时的半径及周期公式间的联系.

例2 如图2所示，一束波长为λ的强光射在金属板P的A处发生了光电效应，

能从A处向各个

方向逸出不同速率的光电子.金属板P的左侧有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感强度为B，面

积足够大，在A点上方L处有一涂荧光材料的金属条Q，并与P垂直.现光束射到A处，金属条Q

受到光电子的冲击而发出荧光的部分集中在CD间，且CD=L，光电子质量为m，电量为e，光速

为c.

（1）金属板P逸出光电子后带什么电？

（2）计算P板金属发生光电效应的逸出功W.

（3）从D点飞出的光电子中，在磁场中飞行的最短时间是多少？

解析 （1）由电荷守恒定律得知P带正电.

（2）所有光电子中半径的最大值R=[SX（][KF（]2[KF）]L[]2[SX）]，

evB=[SX（]mv2[]R[SX）]，

所以Ekm=[SX（]L2B2e2[]4m[SX）]，

逸出功W=[SX（]hc[]λ[SX）]=[SX（]L2B2e2[]4m[SX）].

（3）以最大半径运动并经D点的电子转过圆心角最小，运动时间最短

θ=[SX（]π[]2[SX）]，[SX（]t[]T[SX）]=[SX（]θ[]2π[SX）]，

且T=[SX（]2πm[]eB[SX）]，所以t=[SX（]πm[]2eB[SX）].

从以上例题中可知：洛伦兹力永远与速度垂直、不做功；重力、电场力做的功与路径无

关，只由初末位置决定，当重力、电场力做功不为零时，粒子动能变化.因而洛伦兹力也随

速率的变化而变化，洛伦兹力的变化导致了所受合外力变化，从而引起加速度变化，使粒子

做变加速运动.

【作者单位：（225411）江苏省黄桥中学】