具有8pq阶自同构群的有限幂零群

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摘要: 有限群G的结构一直是群论研究的一个热点，研究了具有8pq阶自同构群的有限群的结构，给出了满足条件的幂零群的完全分类.

关键词: 幂零群；自同构群；p群

中图分类号:O 1521

文献标志码:A文章编号:1672-8513(2011)04-0272-03

Finite Nilpotent Groups with Automorphism Group of Order 8pq

MENG Wei, LI Chunqin

(School of Mathematics and Computer Science, Yunnan University of Nationalities, Kunming 650031, China)

Abstract: Let G be a finite group, by Aut(G) we denote the order of automorphism group of G. In this paper, the finite nilpotent groups G with |Aut(G)|= 8pq are classified.

Key words: nilpotent groups; automorphism group; p-groups

讨论有限群G的结构一直是群论研究的一个热点, 文献［1］研究了有限群中非正规子群的数量, 文献［2］讨论了覆盖避开子群对有限群结构的影响. 给定正整数n, 确定有限群X, 使得 |Aut(X)|=n , 其中Aut(X) 表示 X 的自同构群，也是一个很有意义的问题. Iyer[3]证明了至多有有限个 X 满足上述方程. Machale 和 Flannery[4-5]给出了 |Aut(G)|=pn(1≤n≤4) 及 pq 的有限群的构造, 并证明了不存在自同构群阶是p5,p6,p7的交换群( p为奇素数). Curran[6]得出结论: 对任一奇素数 p, |Aut(X)|=pn(1≤n≤5) 无解, Flym[7]给出了 |Aut(X)|=25的全部解. 陈贵云[8]研究了自同构群阶为无平方因子或pq2的有限群. Hegarty[9]给出了自同构群阶为p2q2的有限群分类.李世荣[10-11]完整解决了 |Aut(G)|=p3q 的情形. 杜妮和李世荣[12]解决了满足 |Aut(G)|=4pq情形的有限群 G 的分类. 钟祥贵和李世荣[13]解决了 |Aut(G)|=2p2q的情形. 孟伟等[14]给出了具有 4p2q阶自同构群的幂零群的完全分类. 作为以上问题的继续,本文研究具有8pq阶自同构群的有限群的结构, 给出了满足条件的幂零群的完全分类.

所考虑的均为有限群,所有未经说明的记号和术语都是标准的. 另外,Zn表示n阶循环群,Zp×Zp为p2阶初等交换群,Q8表示8阶四元数群,D8表示8阶二面体群.

1 预备引理

引理1[15] 设P为非循环p-群, |P|>p2. 若|P/Z(P)|≤p4, 则 |P| |Aut(P)| .

引理2[16] 设n为整数且n=pa22,pa22,…,parr为n的素因子分解式, 记 ω(n)=ri=1a2,则不存在有限群G,使得 |Aut(G)| 为奇数且ω( |Aut(G)|)≤4 .

引理3[17] 设G为有限群. 若 |Aut(G)|=2,则GZ3或Z4.

引理4[17] 设G为有限群. 若 |Aut(G)|=4,则GZ5或Z6.

引理5[17] Aut(Q2)S4;Aut(D2)D4.

2 主要结果

定理1 设G是有限循环群. 则|Aut(G)|=8pq(p,q为不同奇素数)当且仅当G是下列群之

参考文献:

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