“高中生数学应用意识的培养” 教学案例《简单的线性规划问题》

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1 教学理念

《全日制普通高级中学数学教学大纲（试验修订版）》中明确指出高中数学教学的目的之一就是要培养学生“解决实际问题的能力”，其修订的重点就是要加强对学生创新能力和实践能力的培养，要求学生能应用数学语言表达问题，把所学数学知识去抽象、分析和解决带有实际意义或与生产、生活紧密相关的数学问题，形成应用数学的意识和能力。因此，培养高中生的数学应用意识是高中数学教学的重要目标。为了确实培养高中生的数学应用意识，新教材进行了许多改进，在引言或阅读材料中增加了很多实际生活中的案例，新教材新增的线性规划内容，不仅给传统的高中数学注入了新鲜“血液”，更给学生提供了数学建模、应用数学的机会， 为学生将来解决生产管理和经营活动中涉及到有关提高效率、节约能源、增加利润等问题中的最优化问题打好基础。

2 教学背景分析

2.1 教材分析。

本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版必修5第三章《不等式》中3.3.2《简单的线性规划问题》 的第1课时. 主要内容是线性规划的相关概念和简单的线性规划问题的解法.线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法广泛应用于军事作战、经济分析、经营管理和工程技术等方面.简单的线性规划关心的是两类问题：一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成. 教科书利用生产安排的具体实例，介绍了线性规划问题的图解法，引出线性规划等概念，最后举例说明了简单的二元线性规划在饮食营养搭配中的应用.突出体现了优化思想表示一个方案；约束条件是一次不等式组；目标函数是线性的，求目标函数的最大值或最小值.熟悉线性约束条件（不等式组）的几何表征是平面区域（可行域）.体会可行域与可行解、可行域与最优解、可行解与最优解的关系.

2.2 学情分析。

本小节内容建立在学生学习了二元一次不等式（组）及其应用，直线与方程的基础上，通过实例理解了平面区域的意义，并会画出平面区域，还能初步用数学关系表示简单的二元线性规划的限制条件将实际问题转化为数学问题，对于数形结合的思想有所了解，但从数学知识上看学生对于涉及多个已知数据，多个字母变量，多个不等关系知识接触尚少；从数学方法上看，学生对于图解法还缺少认识，对于数形结合思想方法的掌握还需培养。

2.3 教学目标。

2.3.1 知识与技能：了解二元一次不等式（组）的概念，掌握用平面区域刻画二元一次不等式（组）的方法，了解线性规划的意义，了解线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域和最优解等概念；理解线性规划问题的图解法；会利用图解法求线性目标函数的最值与相应最优解。

2.3.2 过程与方法：从实际问题中抽象出简单的线性规划问题，提高学生的数学建模能力，在探究的过程中让学生体验到数学活动中充满着探索与创造，培养学生的数据分析能力、化归能力、探索能力、合情推理能力。

2.3.3 情态、态度与价值观：在应用图解法解题的过程中培养学生的化归能力与运用数形结合思想的能力，体会线性规划的基本思想，培养学生的数学应用意识，体验数学来源于生活而服务于生活的特性。

2.4 教学重点和难点。

（1）教学重点：求线性规划问题的最优解

（2）教学难点：将求目标函数的最值问题转化为经过可行域的直线在y轴上的截距的最值问题

3 教法学法分析及教学思路

3.1 教法分析。

新课程倡导学生积极主动、勇于探索的学习方式，课堂中应注重创设师生互动、生生互动的和谐氛围，通过学生动手实践、动脑思考等方法探究数学知识获取直接经验，进而培养学生的思维能力和应用意识等.

本节课以学生为中心，以问题为载体，采用启发、引导、探究相结合的教学方法.

（1）设置“问题”情境，激发学生解决问题的欲望；

（2）提供“观察、探索、交流”的机会，引导学生独立思考，有效地调动学生思维，使学生在开放的活动中获取直接经验.

（3）在教学中体现“重过程、重情感、重生活”的理念；

（4）让学生经历“学数学、做数学、用数学”的过程.

3.2 学法分析

在学法上，以学生探究为中心，以探究活动为主线，采用“小组合作探究式学习法”进行学习。

3.3 教学思路

本课以问题为载体，以学生为主体，以数学实验为手段，以问题解决为目的，多媒体为重要工具，激发学生动手操作、观察思考、猜想探究的兴趣。注重引导学生充分体验“从实际问题到数学问题”的建模过程，“从具体到一般”的抽象思维过程，从“特殊到一般”的探究新知过程。提高学生应用“数形结合”的思想方法的解题能力，培养学生分析问题，解决问题的能力，培养学生数学应用意识。

总体教学流程为：

1.创设情境―引入主题 2.深入探究―获得新知 3.应用举例―形成方法

4.反馈训练―巩固提高 5.知识小结―拓展引申

4 教学问题诊断分析

线性规划问题的难点表现在三个方面：一是将实际问题抽象为线性规划模型；二是线性约束条件和线性目标函数的几何表征；三是线性规划最优解的探求。其中第一个难点已经通过第一课时已基本克服；第二个难点线性约束条件的几何意义也在第二课时基本解决，本节将继续巩固；第三个难点的解决必须在二元一次不等式（组）表示平面区域的基础上，继续利用数形结合的思想方法把目标函数直观化、可视化，以图解的形式解决之。

将决策变量想x， y以有序实数对 的形式反映，沟通问题与平面直角坐标系的联系，一个有序实数对就是一个决策方案。借助线性目标函数的几何意义准确理解线性目标函数在y轴上的截距与z的最值之间的联系；以数学语言表述，运用数形结合得到求解线性规划问题的方法。

5 教学准备

5.1 普通高中课程标准试验教科书数学必修5及配套光盘

5.2 课件《简单的线性规划问题》

6 教学过程设计

7 教学反思

7.1 探究式教学是建构主义学习理论的一种教学实践模式。探究式课堂的特点是学生通过合作交流、自主探究获得新知识。

7.2 在问题情景探究中，利用《几何画板》创设了一个动态的数学实验室，让学生自己拖动鼠标操作，来改变a，b值，探究出一般性的结论。探究式教学与传统的接受式教学和训练式教学相比，更具问题性、实践性和开放性，将学生置身于动态、开放、生动的学习环境中，有利于学生的自主学习和自主探索，对培养他们的数学素养和创新精神，具有深远意义。

7.3 本课利用了信息技术，《powerpoint 2003》，《几何画板》等来设计探索情景，创造开放性学习环境，满足了不同学生的需要，体现个性化学习，目的是努力使每一位学生都能得到成功的体验，有效的促进不同层次学生的发展，培养学生的数学应用意识。

该节线性规划的教学，应注意以下几个问题

1.线性规划应用题条件，数据较多，如何梳理已知数据至关重要（以线定界，以点定面）

2.学生作图时太慢，没有使用尺规作图，找最优解时不会通过斜率比较分析。（用尺作图直观）

3.高考中对线性规划的考查常以选择、填空题的形式出现，具有小巧、灵活的特点，因此，对常见题型要重点训练。

总之，对于线性规划问题，应坚持应用数形结合的思想方法解题，作出可行域和理解目标函数的几何意义是解题关键。