具有等价意义的二次函数概念及应用
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二次函数是初中数学中难度较大的内容，因为它涉及的概念很多，有些概念与一元二次方程有密切联系，有些与不等式有关联. 同学们往往掌握不够全面和牢固，原因是同学们无法将所学知识联系起来，各个概念之间是孤立的，就好像猴子摘桃子一样，缺乏知识积累的能力. 如x=－这个式子包含三种涵义：它是对称轴的方程，也是抛物线顶点横坐标，又是函数值y取得最大值或最小值时x的取值 .
什么叫等价关系？若条件A成立能得到结论B，反过来，若条件B成立也能得到结论A，则称A等价于B，用符号表示为AB.
以下的等价关系均是针对二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象――抛物线而言的.
（1）抛物线对称轴方程x=－抛物线顶点的横坐标函数值y取得最大值或最小值时的x的值.
（2）b=0抛物线的对称轴为y轴顶点在y轴上顶点坐标为（0，c）.
（3）b2－4ac=0抛物线顶点在x轴上抛物线与x轴只有一个交点函数值y的最大值或最小值为零.
（4）b2－4ac0）或恒小于0（a
（5）关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根为x，x所对应的二次函数的解析式为y=a（x－x）（x－x）所对应的抛物线与x轴的两个交点坐标分别为（x，0），（x，0）.
（6）若抛物线上取自变量x，x时，其函数值相同对称轴为直线x=当自变量x取x+x时，其函数值为c.
（7）若抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标分别为x，x，则两交点的距离d=x－xd=d=2x+d=2x+.
2. 等价意义的应用
在距地面2 m高的某处，把一物体以初速度v0为10 m/s竖直向上抛出，在不计空气阻力的情况下，其上升高度h（m）与抛出时间t（s）满足h=vt－gt2（其中g取10m/s2），则该抛物线在运动过程中经过多少时间距地面最高？最高点离地面多高？
把v=10，g=10分别代入h=vt－gt2中得h=－5t2+10t，这是一个h关于t的二次函数解析式，根据等价关系（1）知，当t=－=－=1时h有最大值. 把t=1代入，得h=－5×12+10×1=5 m，即当t=1 s时，该物体处在离地面最高处，且最高点离地面5+2=7 m.
该题出现距地面最高，意味着抛物线的顶点，可用公式法求出顶点的横坐标t，然后再代入h=－5t2+10t中，由等价关系（1）可知，这样得到的h值是最大的，但很多同学以为h的最大为5 m，就不假思索地得出经过1 s，物体达到最高处5 m的错误结论，出现错误的原因显然是没有认真读题，忽视了题中站在距地面2 m高的条件.
若抛物线y=x2－kx+k－1的顶点在坐标轴上，求k的值.
顶点在坐标轴上有两种含义：一种是顶点在x轴上，依据等价关系（3）可得出b2－4ac=0，即（－k）2－4（k－1）=0，化简并整理后得k2－4k+4=0，解得k=k=2；另一种是顶点在y轴上，根据等价关系（2）知b=0，即－k=0，所以k=0. 综合上述两种情况可知，当k=0或k=2时，抛物线y=x2－kx+k－1的顶点在坐标轴上.
此题若不仔细审题，会遗漏一种情况而只得出一个结论，另外，如果同学们不善于总结，其中的等价关系便很难得知，也不会轻易得到正确的结论. 从上述求解过程中可以看出，等价关系（2）和（3）在此题中显示出了较大的优越性.
不论自变量取什么实数，二次函数y=2x2－6x+m的函数值总是正值，求m的取值范围.
由二次项系数a=2及题意可知抛物线开口向上，且函数值始终大于0，根据等价关系（4）知抛物线与x轴无交点，所以b2－4ac=（－6）2－4×2m时，二次函数y=2x2－6x+m的函数值总是正值.
此例题可以有以下两种变式题，①后半题改为问关于x的一元二次方程2x2－6x+m=0的解的情况是什么；②对于二次函数y=2x2－6x+m，不论x取什么实数时，它始终与坐标轴只有一个交点，求m的取值范围. 上述两种变式题的解决方法与例3相同，结果当然也相同，但在第②题的变式中，抛物线始终与坐标轴只有一个交点，粗心的同学会由图象与x轴只有一个交点得出b2－4ac=0的结论，但仔细想想可知此处与坐标轴（包括x轴、y轴）只有一个交点，说明抛物线与x轴无交点，而只与y轴相交（如图1），所以应有b2－4ac
已知抛物线的顶点为（2，-1），且在x轴上截得的线段AB的长为2，求此抛物线的解析式.
因为抛物线的顶点坐标为（2，-1），且在x轴上截得的线段长为2，由等价关系（5）和（7）知，与x轴的两个交点坐标分别为（3，0）和（1，0），如图2. 此时可知该抛物线的解析式为y=a（x－1）（x－3），再把顶点坐标（2，-1）代入可求出a=1，所以所求的解析式为y=x2－4x+3.
该题若只用等价关系（7）中的在x轴上截得的线段长公式d==2，以及－=2，= －1来列出三元方程组，难度可想而知，而且这样的方程组也没有学过，此时便会陷入困境，若同时用等价关系（5）和（7），则会有“柳暗花明又一村”的景象.
二次函数y=ax2+bx+c满足a+b+c=0和9a－3b+c=0，求该二次函数的对称轴.
满足a+b+c=0和9a－3b+c=0隐含着此抛物线经过（1，0）和（-3，0）两点. 由等量关系（6）知，该函数的对称轴为x=，即直线x=－1.
该题中告知两个式子，有些同学可能会解方程组，但它只有两个方程却有三个未知数，怎么解呢？这样便陷入了困境. 其实，除了前面介绍的等价关系外，同学们还应熟知一些常用的等价关系，如：①a+b+c=0抛物线经过点（1，0）；②a－b+c=0抛物线经过点（-1，0）；③4a－2b+c=0抛物线经过点（-2，0）；④n2a+nb+c=0抛物线经过点（n，0）.
已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（－2，7），B（6，7），C（3，－8），求该抛物线上纵坐标为-8的另一点的横坐标.
从点A和点B的坐标可知，它们的纵坐标相同，即当x=－2和x=6时函数值相同，根据等价关系（6），对称轴为直线x=，即直线x=2，再根据C的坐标，由抛物线的对称性可知，纵坐标为-8的另一点的横坐标为x=1.
题中告知A，B，C三点的坐标，有的同学会马上代入二次函数一般式中，求出a，b，c的值，然后把y=-8代入，求出相对应的x的值，这样显得比较麻烦，而由等价关系（6）和抛物线的对称性很容易得出正确结论.
已知二次函数y=2x2+9x+34，当自变量x取两个不同值x，x时，函数值相等，则当自变量x取x+x时的函数值与（ ）
A. x=1时的函数值相等
B. x=0时的函数值相等
C. x=时的函数值相等
D. x=－时的函数值相等
此题若运用等价关系（6）的话，马上会得到正确答案B. 即使是这样看上去较难的题，也能迎刃而解，所以善于总结是很必要的.
以上几个例题，都是针对上述七个等价关系的具体应用. 显然，掌握这几个等价关系，是解决有关二次函数图象与坐标轴位置关系问题时强有力的武器，拥有这些武器，就能轻松应战各种变幻莫测的题，既能突破二次函数这一章的难点，又能领略简洁解题的风采，同学们完全可以从题海中解脱出来，切实减轻学习负担.