从三角函数概念教学看数学概念学习

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一、问题的提出

三角函数的学习是在高一的上半学期。许多学生对任意角的三角函数的定义普遍感到难以接受。因为初中研究的范围内角的正弦，余弦，正切值都是正数。教师反复强调要注意函数值的正负，学生也花很大的精力去记忆，当他们终于能稍稍熟练于频繁出现的正余弦求值时，三角函数的诱导公式这一节又将他们刚刚建立起来的信心彻底击垮，因为公式太多了，死记硬背再也跟不上老师的进度。为什么会出现这种情况呢？

二、初高中三角函数的定义

初中时的三角函数是这样的：某体育馆设计不同坡度的台阶，由台阶的“陡”的判断引进了正切函数：在RtABC中，∠C=90°，a，b，分是∠A的对边和邻边，我们把∠A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切。正弦，余弦则是在该三角形中分别用对边、邻边与斜边的比值来定义。而在高中，定义是这样的：在任意角α终边上任取一点P，P 的坐标为（x，y），P到坐标原点的距离为r，分别用y1r，x1r，y1x表示角α的正弦，余弦，正切。很自然的，任意角的三角函数产生了正负，但学生总是觉得对正负的出现难以接受。为什么初中的三角函数定义从来就没有过这些问题，高中阶段就错误百出？笔者认为，问题根源不在于与三角函数的定义上，而是出在“任意角”这个概念的不理解上。

三、数学概念的形成

1。初高中角度概念的接受程度

教师总是在抱怨学生初高中衔接得不好，有没有意识到这也许是我们自己的原因呢？历来，数学总是把定义、法则和算法教给学生，然后要求他们按照这些进行学习。但处于最源头的数学概念从何而来？数学概念的获取，主要是由口头语言中相应的数词来支持的，这种获取可以很容易地通过观察的研究来跟踪。学生们很容易接受“坡度”这个词，但作为任意角，平时生活里难以遇到，按他们的想法，0°到360°就能概括生活中的所有情况。为什么要扩展到任意角呢？把生活中的角度问题延伸为与现实脱节的任意角问题正是我们高中数学教学阶段要提高的学生的能力之一：抽象思维能力。如何把这些抽象的东西教给学生，让其很好的吸收，笔者认为，教师要明了学生的概念是如何形成的。

2。概念意象

数学概念是现实生活中某一数量关系和空间形式的本质属性在人的思维中的反映。心理学上，在概念的内部表征中，除了精确的形式化定义外，还有一种成分在起着重要的作用。这种成分是一种场或思维流，它不同于精确的命题或语言定义，但能与语言或命题互为转换，我们把概念内部表征中这种成分称为概念表象或概念意象。

3。概念意象到概念定义形成的过程

任意角的概念表象可以理解为“这个角绕x轴逆时针旋转了××圈，或者是××度，”这个角就在你的教材或作业本上，按照你的想法在旋转。这种概念表象是与概念相对等的一种表示，它与概念的定义共同作用于学生的大脑，形成对概念的理解。概念表象是一种内部语言，它是学生受到“概念定义”的刺激以后在大脑内部进行的活动。被刺激者会从新事物的整体出发，用自身能接受的方式来刻画这个刺激，但这往往需要较长的时间。因为一方面，不是所有的概念都能找到合适的方式作为依靠；另一方面，由于学生是不同的个体，他们平时接触的事物有一定的差距。比如对体操不了解的学生就较了解的学生难以接受 。所以，对一部分学生能适用的“常识”未必对所有的学生都适用。教师在教学概念时并不一定是要抓住定义逐字逐句的解读，我们要做的是不断刺激学生主动去建立与概念相关的概念意象，如果学生不能主动建立或者建立起来有困难，我们要做的就是帮助他们建立。此时的概念意象可以是与概念定义“不一致”（不一定与概念表述的一样精确）的；可以是“不断变化”（在学生的大脑里不断被修正）的；可以是“整体的”（对概念整体的模糊的把握）；可以是“几何的”（用形的方式刻画对抽象的理解）；甚至可以是“歪曲的”（与概念定义有一定出入的）。什么有利于概念意象的形成我们就要多在这方面举例子，多下功夫。

概念表象形成以后，在教师的引导下，学生将概念的定义作用于自己所形成的表象，并对其做判断。如果出现冲突，与定义冲突的部分的意象就被抹去，取而代之的是更趋向于定义的意象。教师继续引导，循环前面的过程，使学生不断修正自身形成的概念意象。这是一个内化的过程，这种内部语言是复杂的，多变的，随着对概念理解的不断深入，这种内部语言趋向于精确化，简洁化，最终与概念的定义达成一致。然而，这个过程也是危险的。学生在记忆、表征、运用数学概念时，多是与概念意象相联系。概念意象与概念定义有联系也有区别，与精确的形式定义相比，概念意象包含较多的无关特征，具有直观性、变化性、模糊性。因此，概念意象的贫乏、不恰当会导致错误概念的产生，用概念意象代替概念也会造成许多错误。我们教师在学生的概念意象形成初期应该多举例子，力求概念意象丰富，尽量避免出现概念的过程性错误。

概念意象的内化完成后，当教师对概念进行提问时，学生试图将这种内部语言转化，变成统一的外部语言，进而说出概念的意义。在这个过程中，前面形成表象的思维过程在学生头脑中再现，学生用自己的语言将其具体化，客观化。由学生自己说出来的概念远比教师强加给学生的概念要有效得多。概念最终转化成为外部语言的过程并不是概念学习中的最重要的过程，最重要的是如何形成概念表象，如何修正概念表象并最终精确。数学概念意象在数学概念形成、理解、运用中有着重要作用，它构成了数学概念的关键部分。

四、小结

我们不应该抱怨学生不理解概念，讲过了还是不懂，我们需要的是不断反思自己在概念的教学上是哪里掉了链子。我们应该在如何帮助学生形成概念意象上下功夫，不是盲目地强迫学生记忆概念。只有学生掌握了的东西，他们才会乐于去运用，我们的后续性教学才会事半功倍。