学习从哪里开始?

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编者按

特级教师，可谓大家公认的“好老师”。一个学生、一个班级能有特级教师来任课，无疑是幸运的。本刊特设此专栏，将特级教师的“三尺讲台”设立在此，就是希望通过特级教师的讲学，带动广大教师的专业提升，让所有的学生、所有的班级，都能幸运地享受高水平的教学。

另外，各位读者可就每期主讲特级教师的讲解内容开展讨论。我刊《互动问答》专栏将刊出读者的提问、讨论等内容，以进一步开拓与大家的互动研讨，支持大家的专业发展。

本期主讲特级教师

俞正强，浙江省小学数学特级教师，北京师范大学教育家书院首届兼职研究员，浙江师范大学硕士生导师，浙江省金华市环城小学校长。

平均数，在学生的数感发展中具有非常重要的地位。在学习平均数之前，学生所接触的数都对应着物品，具有实在性，而平均数则既可能是一组数中现成存在的，也可能是一组数中不存在的。它反映的不是物的多少，而是一组数的整体水平。这种发展，对学生的数感成长而言，其意义是非常重要的。也因此，在小学数学界，我们一直将平均数的认识作为一节重要的课题，加以研究。

目前教材中，不论哪个版本，基本上会用以下的素材来开展平均数的学习：

问：两个队，哪个队的水平比较高？或选哪个队代表班级去比赛？

教材用这一材料或类似材料，是基于以下对学生关于比较的发展水平的认识：

第一：一对一比，比大小。如甲8个，乙6个。8>6

第二：多对等多比，比总数。如甲8个和7个，乙6个和9个。87=69

第三：多对不等多比，比平均数。比如前面书中的例题。

对这个过程的认识无疑是正确的。但有一个问题很致命，即在此一问题情境下，平均数是用来解决问题的。即军队若要打100千米以内的目标，可以用炮，但打1000千米的目标，则需要用导弹。但在用导弹之前，我们应该先有导弹，即武器库内应储存导弹才能用导弹，不可能在用导弹中制造出导弹。

也就是说，学生在用平均数来解决遇到的因人数不等而不能用总数解决的问题时，他们的知识储备中应该已经有了平均数的认识。

为此，我在带领学生学习平均数的认识时，先用了以下这份材料。

材料：

二年级小朋友丁丁，60米跑了5次，测得时间分别是：

15秒 14秒 12秒 10秒 14秒

第二天他向老师汇报：

60米我要跑 15 秒

老师一问：丁丁为什么填了15秒，却把15又划去呢？

学生讨论：15秒是他跑得最慢一次，他不甘心，就划去了。

老师出示材料：60米我要跑 15 秒

10 秒

老师二问：丁丁填了10秒，又为什么划去呢？

学生讨论：10秒是他跑得最快的一次，他没有把握一定跑出来，不好意思填10秒。

老师三问：对，写15秒太慢不甘心，10秒太快不好意思写，你觉得丁丁会填几秒呢？

学生讨论：12秒 偏快

14秒 偏慢

13秒 不快不慢

但没有跑出来过

课堂讨论进行至此，关于平均数的两个理解要点已经出来了。

要点一：13秒表示水平正好，不慢不快。

这是学生支持的理由，说明他们完全理解平均数用来代表一组数整体水平的内涵了。

要点二：13秒，他从来没有跑出来过，怎么能算呢？

这是学生反对的理由，说明他们尚未接纳虚拟数。

由此，接下来的关键在于讨论13秒，到底丁丁能不能填的问题了。

老师四问：13秒没有跑出来过，那13秒怎么来的？

学生讨论：①13秒在14和12的中间。

②13秒在15和10的中间。

这里已经有了平均数的算术意义上的理解了，它是最大数与最小数之间的中间数。

老师五问：13秒最能表示丁丁的一般水平，可是却没有跑出来过，能填吗？

学生讨论：也许第六次就能跑出13秒啊！

课堂进行到这里，小朋友都有此体会了。对啊，可以跑第六次啊！同学们开始接受13秒了，意味着学生们开始接受虚拟数了。

老师六问：同学们，那么13和15、14、12、10、14这组数间有内在联系吗？

学生讨论：可以用移动法，移出一个“13”。

可以计算出一个“13”。

②（15+14+12+10+14）÷5=13

老师七问：刚才我们认识了平均数，那么平均数有什么用呢？能帮助我们解决什么问题呢？

接着采用教材中的例题继续教学。