浅谈数学思想方法及其应用

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【摘 要】数学思想方法作为数学知识体系的精华，是对数学学科的系统理解和高层次理性认知，早已经不单纯局限于数学学科自身的研究应用。文章介绍了数学建模和微积分及极限的思想方法，以及它们在经济学、技术与工程领域的应用。

【关键词】数学方法；高等数学思想；应用

中图分类号：G64文献标识码：A文章编号：1006-0278(2012)02-146-01

数学是一门高度抽象的理论性学科,又是一门应用广泛的工具性学科, 数学是许多自然学科的基础，数学思想是在对数学基本知识提炼出来的系统的具有规律性的理论和想法，而数学方法是在数学思想的基础上解决数学问题的步骤和程序，二者是相互联系的，反映了数学知识的精髓。

一、数学思想方法特征

（一）数学建模的思想方法

应用数学去解决各类实际问题时，建立数学模型是十分关键的一步，同时也是十分困难的一步。建立教学模型的过程，是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程。数学建模有以下几个过程：模型准备：了解问题的实际背景，明确其实际意义，掌握对象的各种信息。用数学语言来描述问题。模型假设：根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，并用精确的语言提出一些恰当的假设。模型建立：在假设的基础上，利用适当的数学工具来刻划各变量之间的数学关系，建立相应的数学结构。模型求解：利用获取的数据资料，对模型的所有参数做出计算。模型分析：对所得的结果进行数学上的分析。模型检验：将模型分析结果与实际情形进行比较，以此来验证模型的准确性、合理性和适用性。如果模型与实际较吻合，则要对计算结果给出其实际含义，并进行解释。如果模型与实际吻合较差,则应该修改假设，再次重复建模过程。模型应用：应用方式因问题的性质和建模的目的而异。

（二）微积分和极限的思想方法

微积分学是微分学和积分学的总称。它是一种数学思想，“无限细分”就是微分，“无限求和”就是积分。微积分的出发点是直观的无穷小量，使用极限运算分析和处理函数在一点附近的变化规律。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。研究函数的微分和积分及其应用的一门数学分科在代数概念基础上建立，为其他科学提供了重要的数学工具。

二、数学思想方法在经济学领域的应用

（一）函数和微分方程

为了研究市场价格、供需求量等各种经济变量之间的关系，常需要运用到函数的思想。利用微分方程可以分析商品的市场价格与需求量(供给量) 之间的函数关系，根据市场调查和统计，建立正确的数学函数，来分析和研究市场行情。利用微分方程可以分析商品的市场价格与需求量(供给量) 之间的函数关系分析关于国民收入Y、储蓄S与投资I的关系问题等。比如在宏观经济研究中，国民收入Y，国民储蓄S，和投资I，均是关于时间t的函数。且在任一时刻t，储蓄额S(t)为国民收入Y(t)的倍，投资额I(t)是国民收入增长率的倍。假设在时刻t的储蓄额全部用于投资，即S=I，列出微分方程 t。

（二）导数和极限

经济学中的许多问题诸如边际问题，还和导数存在着密切的联系,在建立了正确的函数之后，要分析边际成本、边际需求、边际收益的量，就必须运用到微积分思想中的求导。在整个宏观经济市场，分析国民收入、储蓄与投资的关系问题。例如某企业对其商品的销售情况进行了大量调查和统计分析后，得出总利润W(Q)(元)与每月产量Q(吨)的关系为W=W(Q)=1000Q-5Q2，要分析每月销量分别是5、10、15时边际利润并作出经济解释，边际利润函数W’(Q)=100-10Q则W’(Q)|Q=5=50，L’(Q)|Q=10=0，W’(Q)|Q=15=-50，计算结果说明当每月生产量为5吨时再增加一吨,利润将增加50元；当产量每月为10吨时,再增加一吨,利润不变；当产量每月为15吨时,再增加一吨,利润减少50元。经过边际利润的分析说明，对企业家来说，并非生产的产品数量越多,利润越高。

三、数学思想方法在技术和工程领域的应用

到目前为止，数学的所有一级分支都已经找到了应用领域，从自然科学、社会科学、工程技术到信息技术，数学的影响无处不在。微积分是高等数学的基础，应用范围非常广，基本上涉及到函数的领域都需要微积分的知识。级数中，傅立叶级数和傅立叶变换主要应用在信号分析领域，包括滤波、数据压缩、电力系统的监控等，电子产品的制造离不开微积分的数学思想。线形代数是目前应用很广泛的数学分支，数据结构、程序算法、机械设计、电子电路、电子信号、自动控制、经济分析、管理科学、医学、会计等都需要用到线形代数的知识。微分方程包括常微分方程和偏微分方程，是流体力学、超导技术、量子力学、数理金融、材料科学、模式识别、信号(图像)处理 、工业控制、输配电、遥感测控、传染病分析、天气预报等领域重要工具之一。

综上所述，高等数学思想方法不仅在数学学科领域的教学和研究中发挥极大的作用，同时也有力的促进了诸如经济学、统计学和工程技术领域的飞速发展。

参考文献：

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[3]吴传生,经济数学—微积分[M].北京高教出版社,2003,（6）.