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摘要:本文介绍了两个矩阵同时上三角化和同时对角化的特殊例子.
关键字:矩阵,同时对角化,同时上三角化
在高等代数中,我们经常见到单个矩阵的对角化和上三角化.对于两个矩阵同时上三角化和对角化却很陌生,本文给出了几种特殊的例子,以方便大学生对高等代数的学习.
定理一 若两个阶复方阵可交换,则二者可同时上三角化.
证明
利用数学归纳法.
时,结论显然成立.
假设当时结论成立,则考虑时,因二者可交换,则必存在公共向量
将扩充为的一组基
令,则
;
.
由可交换不难看出可交换.
根据归纳假设存在阶可逆矩阵使得,,均为上三角阵.那么取即可,就可得出同时上三角化.
推广 阶可交换矩阵族可同时上三角化的问题
方法与1类似,先证明这族矩阵存在公共特征向量.证明时,可将这族矩阵看成有限个,因为我们将这些矩阵看做某一线性空间中的线性变换矩阵,而的维数有限,再后面用归纳证明上三角化即可.
定理二 在上定理条件下,若均可对角化,则二者可同时对角化.
证明
设的个互异的特征值,其重数分别为,则存在可逆矩阵,使
.
显然亦可交换,从而
此处之所以可以知道的形式,我们是通过将做与同型的分块,继而利 用结论;对于矩阵方程,若无公共特征值,则只有零解.因可对角化,则可对角化,即存在可逆矩阵,使得为对角阵,则取
即可.
引理 一个矩阵幂零的充要条件为.()
证明
必要性显然.下证充分性.
设的个特征值为,令
.
由牛顿公式(为初等对称多项式)
从而.因此,的特征多项式为
所以的特征值全为零;从而幂零.
定理三 设阶复方阵满足,则可同时上三角化.
证明
令,则
.
若,则可交换,因此,可同时上三角化,进而可同时上三角化.
若,
从而幂零,这样,任取,,则
从而也是的不变子空间,将二者限制在上,则必有公共特征向量,再用归纳法不难证明可同时上三角化,进而可同时上三角化.
参考文献
【1】A.N.柯斯特利金.代数学引论(第二卷)线性代数(第3版).北京:高等教育出版社,2008.1.
【2】许以超.线性代数与矩阵论(第二版).北京:高等教育出版社,2008.6.