三角形三边关系的应用

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三角形的三边关系是：三角形任意两边之和大于第三边.这是三角形的一个重要性质，与其有关的问题在数学中考和竞赛中经常出现.下面将三角形三边关系的应用问题分类整理，帮助同学们掌握.

一、判断三条线段能否构成三角形

例1以下列各组线段为边，能构成三角形的是（）.

A.1cm，2cm，3cmB.8cm，6cm，4cm

C.12cm，5cm，6cmD.12cm，3cm，3cm

解析：判断三条线段能否构成三角形的方法：若三条线段的长为a、b、c（a≤b≤c），则当a+b>c时，它们能构成一个三角形.由此不难判断，正确答案为B.

二、已知三角形两边长，求第三边的取值范围

例2已知三角形的两边分别为a=3，b=5，则第三边c的取值范围是______.

解析：根据三角形的三边关系可知，a-b

三、已知三角形两边长及其他条件，求第三边的长

例3已知三角形的周长为偶数，其中两边长分别为7和2，则第三边长应为（）.

A.6B.7C.8D.9

解析：先根据三角形的三边关系，确定第三边的取值范围，再根据其他条件求值.

设第三边长为x，根据三角形的三边关系可知，7-2

例4如果等腰三角形的两边长分别为3和6，则其周长为____.

解析：由于不知道已知的两边哪条边为底，哪条边为腰，因此需要分类讨论.

若长为3的边为腰，长为6的边为底，则三角形的三边长分别为3，3，6.由于3+3=6，不符合三角形三边关系，故这样的三角形不存在.

若长为6的边为腰，长为3的边为底，则三角形的三边长分别为3，6，6. 显然，3+6>6，符合三角形三边关系.

所以该等腰三角形的周长为3+6+6=15.

四、判断三角形的形状

例5已知一个三角形的三边长都是整数，且周长为8，试判断这个三角形的形状.

解析：设三角形的三边长分别为a、b、c（a≥b≥c），则a+b+c=8，3a≥a+b+c，故a≥ ；根据三角形的三边关系可知b+c>a，则a+b+c>2a，故2a

说明：由以上分析可以得出这样一个结论：设三角形的周长为l，最长的边为a，最短的边为c，则 ≤a< ，0

五、根据题意画三角形

例6在平面内，分别用3根、5根、6根火柴首尾依次相接，能搭成什么形状的三角形呢？一个同学通过尝试，列出了表1.

（1）4根火柴能搭成三角形吗？

（2）8根、12根火柴分别能搭成几种不同的三角形？画出它们的示意图.

解析：（1）用4根火柴组成三条线段，只有1，1，2一种情形.因1+1=2，不符合三角形三边关系，故4根火柴不能搭成三角形.

（2）由例5推出的结论可知，用8根火柴搭三角形，最长的边应少于4根火柴，因此只能搭成（3，3，2）这一种三角形.而用12根火柴搭三角形，最长的边应少于6根火柴，因此能搭成三种不同的三角形，即（5，5，2），（5，3，4）（4，4，4）.（示意图略.）

六、解决实际问题

例7有四个村庄，位于四边形ABCD的四个顶点处（如图1），现在要建一个批发市场P.问P选在何处，才能使它到A、B、C、D四个村庄的距离之和PA+PB+PC+PD最小.请说明理由.

解析：连结AC、BD，设AC、BD的交点为P，任取异于点P的一点P′，连结P′A、P′B、P′C、P′D.由三角形的三边关系可知：

P′A+P′C>AC， ①

P′B+P′D>BD.②

①+②得，P′A+P′C+P′B+P′D>AC+BD.

因为PA+PC+PB+PD=AC+BD，所以P′A+P′C+P′B+P′D>PA+PC+PB+PD，即选P为两条对角线的交点时，到四个村庄的距离之和最小.

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”