阿伏伽德罗定律及其推论的数学推导
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【摘 要】对于阿伏伽德罗定律及其推论，很多化学教辅资料都是直接罗列出公式，学生们只能死记硬背，结果往往是事倍功半。如果引入理想气体状态方程PV=nRT等一些基本公式，简明、清晰地呈现阿伏伽德罗定律及其推论的推导过程，则有利于学生更好地理解、掌握和应用这一知识。
【中图分类号】G632 【文献标识码】A 【文章编号】1674-4810（2014）01-0140-01
在中学化学中，经常会用阿伏伽德罗定律及其推论来解决一些与气体相关的问题。每年的高考也往往会涉及此类问题。由于阿伏伽德罗定律及其推论内容多，条件易混淆、难理解，导致学生对概念和关系式记不清、记不牢，甚至不会用。因此，在实际的教学过程中，很有必要对阿伏伽德罗定律及其推论进行数学推导，以便学生更好地理解和掌握。
一 理想气体状态方程
引入理想气体状态方程的目的是用它对阿伏伽德罗定律及其推论进行数学推导，所以在此只简单介绍理想气体状态方程，不涉及方程中气态常数的数值及其他相关物理量的单位问题。
理想气体状态方程是指物质的量为n、压强为P，热力学温度为T、体积为V的理想气体，其以上各物理量满足的一个关系式：PV=nRT（其中R为气体常数），也称克拉伯龙方程。
涉及的其他物理量有：N是气体分子数目，NA是阿伏伽德罗常数，ρ是密度，m是质量。
二 阿伏伽德罗定律及其推论的推导
1.阿伏伽德罗定律的推导
根据PV=nRT，可得：n= （R为气体常数） （1）
又结合N=nNA，则有：N= NA，（NA为阿伏伽德罗
常数） （2）
分析上述关系式，当任何气体所处的条件为同P、同V、
同T时， 的值是相同的，（1）式中其物质的量n必定相
同，（2）式中其分子数目N也必定相同。这就是阿伏伽德罗定律：在相同的温度和压强下，相同体积的任何气体都含有相同数目的分子。
2.阿伏伽德罗定律推论的推导
在推导阿伏伽德罗定律推论的过程中，根据需要把“任何气体”仅限定成两种状态的气体，分别为“气体1”和“气体2”，以方便学习者清楚地理解推论本身和推导过程。
“气体1”和“气体2”的理想气体状态方程分别为：
P1V1=n1RT1 （3） P2V2=n2RT2 （4）
当P1=P2、T1=T2时，（3）÷（4）可得 = ，即推
论1：同温同压下，任何气体体积之比等于它们的物质的量之比，也等于它们的分子个数之比。
当T1=T2、V1=V2时，（3）÷（4）可得 = ，即
推论2：同温同体积下，任何气体压强之比等于它们的物质的量之比。
将n= 分别带入PV=nRT，可得：PV= RT （5）
对“气体1”和“气体2”（5）式分别可写成：
P1V1= RT1 （6） P2V2= RT2 （7）
当P1=P2、T1=T2、V1=V2时，（6）=（7），则有 =
，变形可得： = ，即推论3：同温同压下，相同
体积的任何气体质量之比等于其相对分子质量之比。
当P1=P2、T1=T2、m1=m2时，（6）÷（7）可得：
= ，即推论4：同温同压下，相同质量的任何气体的体
积之比等于其相对分子质量的反比。
当T1=T2、V1=V2、m1=m2时，（6）÷（7）可得：
= ，即推论5：同温同体积下，相同质量的任何气体压
强之比等于其相对分子质量的反比。
将n= 、ρ= 代入PV=nRT，可得：PM=ρRT （8）
对“气体1”和“气体2”，（8）式分别可写成：
P1M1=ρ1RT1 （9） P2M2=ρ2RT2 （10）
当P1=P2、T1=T2时，（9）÷（10）可得： ，即
推论6：同温同压下，任何气体的密度之比等于其相对分子质量之比。
三 小结
利用PV=nRT、n= 、N=nNA、ρ= 等一些基本公
式，可以立即推导出所有的定律和推论。把记忆多条推论转化为记忆几个方程式，这样就大大减轻了学习负担，避免死记硬背，避免错误，达到事半功倍的效果。
参考文献
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