调和-几何-算术-幂平均不等式的新证明

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摘要：本文在已有文献的基础上，利用图形证明了调和-几何-算术-幂平均不等式的特殊情形，然后对其一般形式给出了两种新的证明方法. 本文是对四联均值不等式证明方法的进一步丰富与完善，其证明思路与现有的其他证明思路是不同的.

关键词：调和-几何-算术-幂平均不等式；图形；排序不等式；函数凹凸性

引言

均值不等式是高中数学的重要内容之一，在不等式中占有核心地位，它是研究函数极值、证明代数和几何问题的有效工具. 关于调和-几何-算术-幂平均不等式，此前已经有很多精妙的证明方法. 凹凸性是函数的基本性态，因此借助函数的凹凸性来证明该不等式，具有十分重要的理论意义.

本文在已有文献的基础上，首先利用图形证明了调和-几何-算术-幂平均不等式的特殊情形（即n=2时），然后用两种新的方法证明了其推广后的一般形式.

本文是对均值不等式证明方法的进一步丰富与完善，其证明思路与现有的其他证明思路是不同的.

预备知识

我们首先列出与本文研究主题相关的定义和定理.

定义1 令ak>0（k=1，2，…，n），则称Hn=，Gn=，

An=，

Qn（ｍ）=分别为a1，a2，…，an的调和平均值、几何平均值、算术平均值和幂平均值（m>1）.

定义2 设f（ｘ）在定义域内连续，若对定义域中的任意n个点x1，x2，x3，…，xn，恒有f≥，则称f（x）在定义域内是上凸的 ；若恒有f≤，则称f（x）在定义域内是下凸的.

定理1 （排序不等式）设a1≤a2≤a3≤…≤an，b1≤b2≤b3≤…≤bn，则有

a1bn+a2bn-1+a3bn-2+a4bn-3+…+anb1（逆序积和）

≤a1br1+a2br2+a3br3+a4br4+…+anbrn（乱序积和）

≤a1b1+a2b2+a3b3+a4b4+…+anbn（顺序积和）.

（其中r1，r2，r3，r4，…，rn是1，2，3，4，5，…，n的一个排列）

定理2设ak>0（k=1，2，…，n），?摇Hn，Gn，An，Qn（m>1）分别为a1，a2，…，an的调和平均值、几何平均值、算术平均值和幂平均值，则有Hn≤Gn≤An≤Qn（m>1）.

定理3设f（x）在定义域内存在二阶导数f ″（x），那么

（1）若在定义域内f ″（x）

（2）若在定义域内f ″（x）>0，则f（x）在定义域内为下凸.

主要结论及其证明

1. n=2时特殊情形的新证明

在人教版高中《数学》第二册（上）第11页，有这样一个题目：

已知a，b都是正数，求证≤≤≤.

分析可以借助几何图形，将四个表达式分别表达出来，通过比较线段的长度获得各表达式的相对大小.

证明显然，当a=b时等号成立.

下证，当a≠b时不等式成立.

不妨设 a>b>0，令AC=a，AB=b，BC=?摇a－b，以BC为直径作半圆BDFC，圆心为O. 过A作半圆的切线AD，切点为D，过D作DEBC于E，连结OD，过O作OFBC交半圆于F，连结AF. 则?摇AO=，AD=，AE===.

于是，?摇?摇AF===.

由图1可知：AE?摇

故原不等式成立.

2. 均值不等式的新证明

下面给出定理2的两种新证明.

证明1（1）Gn≤An，令x1=，x2=，x3=，…，xn=.

根据定理1，n=x1•+x2•+x3•+…+xn-1•+xn•（逆序和）

≤x1•+x2•+x3•+x4•+…+xn•（乱序和）

=+++++…+++.

所以Gn≤=An.

下证，若 a1=a2=a3=…=an，则有Gn=An=a1.

事实上，若假设Gn=An时，a1，a2，…，an不全相等. 不妨设a1a1a2.

故An==≥>=Gn，这与假设矛盾，即有a1=a2=a3=…=an成立.

（2）Hn≤Gn，

由=≥=，则Hn≤Gn.

当且仅当a1=a2=a3=…=an时，等号成立.

（3）只证Αn≤Qn（m=2）. 又Αn≤Qn（m=2）等价于++…+≤1.

原式=++…+≤•++…+•+=•+1=1.

证明2（1）证明Hn≤Gn对 ak>0（k=1，2，…，n），考查函数f（x）=－lnx，则?坌x>0，有f′（x）=－0，故f（x）=－lnx，在定义域内严格下凸.

于是有－ln≤ －=ln. 而f（x）=lnx在定义域内单调递增，故 ≤，

即Hn≤Gn（当且仅当a1=a2=a3=…=an时不等式取等号）.

（2）证明Gn≤An，对ak>0（k=1，2，…，n），考查函数f（x）=lnx，则?坌x>0，有

f′（x）=>0，f ″（x）=－

ln≥=ln.

又f（x）=lnx在定义域内单增，从而 ≤，

即Gn≤An（当且仅当a1=a2=a3=…=an时不等式取等号）.

（3）证明An≤Qn（m>1），对ak>0（k=1，2，…，n），考查函数f（x）=xa（a>1），则

?坌x>0，有f′（x）=axa-1>0，f″（x）=a（a－1）• xa-2>0，从而f（x）=xa在定义域内严格下凸，于是有

≥a，

即≥

.

所以An≤Qn（m>1），当且仅当a1=a2=a3=…=an时不等式取等号.

3. 关于均值不等式的发散

调和平均数中要求m>1，那么当0

笔者猜想：Hn≤Gn

为证明结论，可以构造函数

f（x）=，x≠0，?摇ak，x=0.?摇由于Hn=f（－1），Gn=f（0），An=f（1），所以要证原不等式成立，只需证明f（x）在定义域内是单调递增的（函数单调性的证明留给读者思考）.

结束语

本文受已有文献的启示，利用图形证明了调和-几何-算术-幂平均不等式的特殊情形（即n=2时），然后又对其推广后的一般形式给出了两种新的证明方法. 类似已有文献和本文的思路，我们也可以考虑新的构造方法来证明均值不等式.

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