物理教学中对学生函数思维能力过程性培养的策略
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一、问题的提出
应用数学工具解决物理问题是物理课程标准（以下简称“课标”）规定学生必须掌握的一项基本技能[1]，在不少省市的高考说明中对函数思维能力都有明确的表述。
以函数思维来审视物理中变量之间的关系，往往能够化难为易、化繁为简，起到事半功倍的作用，不但能提高学生的知识迁移能力，而且可以开阔学生的视野，加强学生对物理学习的深度，激发学生的兴趣.
二、主要概念的界定
（一）函数思维
函数描述了自然界中量的制约关系，反映了一个事件（或参量）随着其他若干个事件（或参量）变化而变化的关系和规律.函数的思维方法就是用联系的变化的观点抽象出对象的数学特征，建立函数关系式（画出函数图象），并利用函数的性质研究、解决问题的一种数学思维方法[2].
初高中学生在思维方式上有两大区别：（1）形象思维与抽象思维的区别，（2）感性思维与理性思维的区别.应用函数思维解决物理问题则是有效提升高中生应用抽象思维、理性思维解决问题能力的重要抓手.
学生形成用函数思维解决物理问题的习惯是一项系统、漫长且螺旋式上升的过程，绝非一朝一夕可以实现的.为了更有效培养高中生应用函数思维解决物理问题的能力，我们必须对这项工作进行高中三年教学的全程设计，从而实现对学生的函数思想进行过程性培养，而非阶段性的权宜之计.
三、理论支撑
建构主义认为：（1）学习就是在一定情境即社会文化背景下，借助其他人的帮助即通过人际间的协作交流活动而实现有意义的建构过程;（2）学习者已有的认知图式与即将学习的知识之间相互作用主要包括“同化”和“顺应”两种.学习者把一个新认知纳入已有的认知图式的过程称之为同化.当遇到不能同化的知识时，学习者调整已有的认知图式，以习得新的知识，称之为顺应[3].
在进入高中前，学生已经有了一些数学基础，且也有用函数思维解决问题的经历（如初中物理中所涉及的压强、欧姆定律、浮力等问题）.此时教师应引导学生将这些零散的、隐性思维方法建立具有普遍意义的认知图式，为学生学习新知识中的顺应和同化做好准备.
四、函数思维法教学模式的探索
函数思维法作为解决问题的一种重要方法，不少中学教师均认识到了这一点，也做了不少研究和探索，但大部分的研究还只是一些例证性的，理论性的文章或成果并不多见.其中文献4提出了函数法思维教学模式，其教学模式的网络阵图如下（如图1所示）[4].
由图1可见：（1）认识规律和掌握规律有顺应和同化两种方式，两种方式间存在动态循环关系;（2）不同科学量间存在因与果、基础与递进等关系;（3）掌握函数思维方法通常要经历“建立方法、尝试运用方法、自觉运用方法”三个阶段;（4）“认知程序思维”是思维能力由低级到高级，由表象到深层次、由唤醒到自觉的发展过程.
五、函数思维能力过程性培养的策略
（一）“显现化”的策略
教学中常常会看到这样的现象，有些教师怕被扣上“填鸭式教学”的帽子，凡教学必“启发式”，回避“显现化”的方式.凡事都有度，教学方式亦如此.过度“绕弯式的启发”给学生制造了学习的障碍，适当的点破“窗户纸”也是可以的.函数思维本身属于抽象思维，在物理课程中表现得比较隐性，进行“显现化”处理非常必要，否则会显得很晦涩.如何“显现化”呢？笔者设计了如下基本程式（如图2所示）.
【例1】地球和月球的半径之比为=4，表面重力加速度之比为=6，则地球和月球的密度ρ之比为 .
【析与解】寻求ρ=f（g，R）的函数关系式为思维目标，ρ=、V=是思维起点，而M=则是思维桥梁.可求得目标关系式ρ=，其中ρ为应变量，g、R为自变量，剔除相同物理量（定量），进一步可得ρ∝，则答案为1.5.
根据笔者的经验，若在函数思维培养过程中常用一些函数术语进行教学，对教学过程进行“显性化”处理，则学生遇到类似问题应用函数思维的“敏感度”会提高.常用的术语有：“自变量”“应变量”“表达式”“定义域”“值域”“分段函数”及“函数的单调性”等.
（二）数形结合的策略
函数的表示方法有：解析法、列表法、图象法等.图象法和解析法是高中物理最常用的表示方法，两种方法各有优缺点.图象法的优点则是形象直观，方便判断物理量的变化趋势，有利于快速从整体上把握问题，必要时可与现代教育技术相结合（如例2）;而解析法的优点是精确，方便以方程（组）的形式解出物理量的具体值（如例3）.在具体应用函数法解决问题时，可以根据问题需要选择合适的表示方法.
【例2】如图3所示，两个电荷量绝对值都是q的点电荷，二者间的距离为2a，讨论两电荷中垂线上电场强度的变化情况.
【析与解】中垂线上的A点与垂足O相距x，由对称性、点电荷的场强公式和场的叠加原理可求得：E=.
此处E极值的求解过程对数学的要求已经超出教学要求.如何既能避开烦琐的数学过程，又可以对这一问题有整体性的把握，笔者尝试利用Excel的图表功能描出了如图4所示的E与的关系图象，从图上可以观察到在∈[0，+∞），函数的单调性发生一次改变，即有极大值.利用Excel的图表功能，既简化了问题讨论的过程，也从客观上提高了学生应用现代技术解决问题的能力，适应新的教育要求.
【例3】利用图5所示电路可以测出电压表的内阻.已知电源的内阻可以忽略不计，R为电阻箱.闭合开关，当R取不同阻值时，电压表对应有不同读数U.多次改变电阻箱的阻值，所得到的-R图象在图6中正确的应该是（ ）
【析与解】设电源电动势为E，电压表内阻为RV，电压表的读数为U，本问题的自变量可认为是电阻箱的电阻R，而则为应变量.由闭合电路的欧姆定律，可得I=，则U=E-IR=E-，化简得=+，即两者是一次函数关系，则A正确.
（三）准确把握参量独立性的策略
物理量间的关系往往比纯数学问题中变量间的关系更隐性、更复杂，其中一个重要的原因是有时不能一下子把一个问题中的定量与变量区分开来，也就是各物理量是独立量还是关联量.最典型的就是比值定义法定义的物理量与相关物理量间的关系，不能说比值与分子成正比、与分母成反比，如密度ρ=，电阻R=，加速度a=，场强E=，电势φ=，电势差UAB=，电容C=……学生能比较容易地理清上述物理量间的关系，其中一个重要原因是，在新课教学时老师往往都进行了强化.但有时就不是那么简单了，如例4.
【例4】人造卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为r，线速度为v，周期为T，要使卫星的周期变为2T，可以采取的办法是（ ）
A.r不变，使线速度变为
B.v不变，使轨道半径变为2r
C.使卫星的高度增加r
D.使轨道半径变为r
【析与解】如果应用T=的关系式则会选择AB，显然不正确，因为表达式中分子（r）和分母（v）是关联物理量.对于同一中心天体而言，所有环绕天体的运动学参量（T，v，ω，an）与其他因素无关，是轨道半径r的函数.把r视作自变量（中心天体质量M一定），其他参量视为应变量，则有：T=2π，v=，an=.则T∝r，选D.
该类问题的关键是关系式中分子上的物理量与分母上的物理量是独立量（一个物理量的变化不会引起其他量的连锁反应），还是关联量（与独立量相对）.在说一个物理量（应变量）与其他物理量（自变量）间是什么关系时，要保证一个自变量变化时，其他自变量能保持不变，即符合控制变量法的要求.由于知识水平和看问题的角度所限，学生容易犯上述错误，教师在教学中应常指导学生检验表达式中各自变量的独立性如何.
（四）循序渐进的策略
俗话说“习惯成自然”，而思维习惯的养成更不能一蹴而就，是一个长期复杂的过程，即需要进行过程性培养.教学对象和教学目标，决定了教学内容、教学过程和教学形式.首先，从生理和心理的角度讲，刚进入高中的学生抽象思维远不如形象思维发达，抽象思维才刚刚形成;其次，从知识和能力角度讲，他们在初中所学的函数知识大部分还只是讨论一些纯数学的问题，数理结合的形式并不多见;再次，从认知规律角度讲，人类对规律的认知必然要经历从模糊到清晰、从简单到复杂的过程，由感性上升到理性的过程.
培养学生的函数思维应尽早启动，把握住教学过程中的契机，并贯穿于三年教学的全过程.笔者曾以《2014江苏省普通高中学习水平测试（选修科目）说明》为基础，研究了高考考点，其中至少有20个知识点适合培养学生的函数思维能力，限于篇幅不在此罗列.
解决物理问题的思想方法有很多，函数思维只能在部分物理问题的解决中显示出其优越性，正是这种教学时间上的间隙性，所以应根据教学内容适时把握机会.
（五）专题强化的策略
经过基础年级的学习、体验，学生应该已经初步具备了应用函数思维方法解决相关物理问题的能力.但由于前期能力培养的时间比较零散，为了使学生应用函数思维解决问题的能力再深化、内化，对这种方法的应用变得更加自觉，教师在高三年级有必要通过专题的形式巩固前期的效果.
纵观高三复习，我们会发现适合集中提升学生应用函数思维解决问题能力的专题主要有两大类：（1）用解析法求解与极值有关的问题，如追及问题、电源的输出功率问题以及与利用三角函数求解的有关问题等;（2）图象法中有关坐标值、斜率、交点和面积等参量的含义，如运动学图象、动力学图象、电学实验图象、电磁感应图象问题等. 专题强化的最大优势在于趁热打铁、及时巩固，特别是在二轮复习中关于思维方法和思维能力训练阶段，这种做法效果尤佳.
在解决物理问题的过程中，简单机械地套用物理规律，有时只能暂时地解决问题.教师若能引导学生以函数思维来看待一些问题，不但能让学生掌握灵活解决问题的方法，而且能开阔学生的解题视野，有利于学生对物理规律本质的理解，对培养学生能力的积极意义是不言而喻的.
参考文献：
[1] 中华人民共和国教育部.普通高中物理课程标准（实验）[S].北京：人民教育出版社，2003：9.
[2] 郭春艳，常法智.函数思维在中学数学解题中应用初探[J].高等函授学报（自然科学版），2007（4）：14.
[3] 张大均.教育心理学[M].北京：人民教育出版社，2004：69.
[4] 李孝昂.自然科学教学中函数思维教学模式的构建[J].中学物理教学参考，2001（7）：29.