基于Bass与元胞自动机混合模型的快速消费品产品扩散研究

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フ 要:快速消费品产品扩散主要涉及首次购买和重置购买两个方面。现有的Bass模型对快速消费品的首次购买者有较好的宏观预测能力，而元胞自动机模型可对重置购买者进行较好的预测。借鉴Bass模型和元胞自动机模型各自的优势，提出了一种混合模型，期望用于对快速消费品产品扩散的市场预测。对中国1999年~2006年乳制品的销售量的估计值与实际值的误差为4.11%,拟合度为96.7%,对2007年~2009年乳制品销售量预测值与是价值相差15%,7%和2%，验证了所提出模型的有效性和适用性。

ス丶词:Bass模型；元胞自动机模型；快速消费品；首次购买；重置购买

ブ型挤掷嗪: TP311 文献标志码:A

Abstract:The product diffusion of Fast Moving Consumer Goods (FMCG) mainly involves two aspects, the initial purchase and the replacement purchase. The current Bass model has the macro forecast ability about initial purchasers, while the cellular automata model can effectively predict the amount of the replacement purchasers. A hybrid model by learning advantages from the Bass and cellular automata models was proposed to forecast the FMCG diffusion. The mean error of estimation values and real values form 1999 to 2006 is 4.11%, and its fitting degree is 96.7%; the perdiction values are 15%,7%,2% smaller than the real values of Chinese milk sales volumes in 2007,2008,2009 respectively. The experimental results on Chinese milk sales volume verify that the hybrid model is effective and applicable to predict the FMCG product diffusion of Chinese milk sales volumes.

Key words: Bass model; Cellular Automata (CA) model; Fast Moving Consumer Goods (FMCG); initial purchase; replacement purchase

0 引言

产品扩散是指产品上市后随着时间推移不断地被越来越多消费者所采用的过程。快速消费品(Fast Moving Consumer Goods, FMCG)，是消费周期短、消费频率高、销售速度快、单位产品价值相对较低的消费商品，主要包括日化用品、食品饮料、烟草等。它们依靠消费者高频次和重复的使用与消耗，通过市场的规模量来获得利润。因此，正确认识其市场扩散规律对企业生产和营销决策有着重要的意义。

经典的产品扩散模型主要有两大类：一类是以Bass模型［1-4］为基础的改进和实例应用研究，即通过增加或者调整参数设置，引入营销组合变量、竞争、随机性、重购等影响因素，对模型做扩展。例如侯润川［5］以手机扩散为例，研究了中国移动通信产品的扩散；张荣等人［6］对投影机的扩散过程进行了研究；张磊等人［7］在Bass模型中引入了重置购买参数对新产品的市场需求进行了模拟预测。另一类是借助元胞自动机模型(Cellular Automata,CA)进行的模拟仿真研究，即综合考虑了内外环境因素的影响，以及消费者行为间的交互作用。例如陈荣等人［8-9］研究了存在连带外部效应的市场的动力学演变行为，从微观角度较好地解释了新产品及新技术的扩散；李望等人［10］模拟了不同市场条件下新产品的市场扩散过程，并考虑到了广告、产品质量等因素对产品扩散的影响。

Bass模型能为预测新技术或耐用消费品的未来销售模式提供良好的指导，但它仅描述了消费者的首次购买行为。而对包含了首次购买和大量重复购买行为的快速消费品的扩散研究却并不适用。此外基于bass模型的模拟研究往往需要求解微分方程，随着变量的增加，必然使求解过程异常复杂。而且，基于Bass模型模拟的一个根本问题是无法表现局部参数的微观效应。同样，元胞自动机模型虽然对于局部微观效应有很强的表现能力，但也存在以下不足：一是元胞自动机模型参数不好确定；二是每个元胞都是在局部区域的作用下发生改变，也就是说，这是一个微观模型，无法对现实世界中存在的复杂的宏观因素的影响提供比较直接的表现。

针对这两种模型的特点，也有研究者提出了结合两个模型的优势构建混合模型的想法。比如方亮等人［11］等通过建立模型中宏观层次的参数与元胞自动机模型中微观层次的概率之间的联系，建立了基于元胞自动机的技术创新扩散模型。而如果需要对混合模型进行实验，应事先考虑混合模型的数据交换方式及数据衔接的要求等。传统的提出构建混合模型的研究者，都没有很好地对此进行处理。

本文在综合考虑上述问题的基础上，提出了一种新型的基于Bass模型和元胞自动机模型的混合模型。由于重置购买者是从首次购买用户群中产生的，因此在该混合模型中本文利用Bass模型对快速消费品扩散中的首次购买者人数进行估计，重置购买则是在估计出首次购买者人数的前提下，借助元胞自动机模型进行估计。此外传统模型都是基于一个预先定义好的概率进行简单判断，这种计算方式是极其不准确的。因此本模型认为潜在消费者是否产生再次购买行为，除受自己在当前时刻对商品的满意度评价指标的约束外，同时在一定程度上还受到偶然因素的影响。该混合模型充分发挥了Bass模型对于首次购买者的宏观预测能力和元胞自动机模型对于局部微观效应的表现能力以及对重置购买者的有效预测能力。通过模型的数据拟合分析以及参数影响测试，也充分验证了该混合模型对于预测快速消费品扩散的可行性。

1 扩散模型设计

为了克服前面所提到各种研究所存在的不足，本文提出充分利用Bass模型在宏观模拟上的优势，用于对首次购买者进行预测；同时，借助元胞自动机模型对于局部(微观)相互作用较强表现能力的优势，将其用于对重置购买者进行预测，从而很好地结合两种模型的优势。具体而言，该扩散模型设计如下所述。

Р品的总购买量S是时间t的函数，由首次购买者F和重置购买者R的总购买量构成，如式(1)所示：オ

S(t)=αF(t)+βR(t)(1)

其中：参数Е,β分别表示两类购买者的人均购买量；F(t),R(t)分别表示在t时刻首次购买者和重置购买者的人数。オ

考虑现实中可能存在的各种因素导致的随机误差，假设这样的随机误差是满足0均值、同方差的高斯正态分布，记为Е弄t，г蚴(1)可以改写为如下更为精确的一个表达式：

S(t)=αF(t)+βR(t)+εt(2)オ

对于式(2)中的F(t)Ю用Bass模型进行估计；Ф对于R(t)，在估计出F(t)的前提下，Ы柚元胞自动机模型，对其进行估计。

1.1 F(t)的估计オ

假设该产品的潜在采用者数为M(即该产品的潜在市场大小)，在t时刻的累积采用者人数为N(t)，Ю刍的采用者所占比率记为A(t)，显然:A(t)=N(t)/M。Ц据Bass扩散模型假设在任意时刻t，新的采用者数量跟t时刻潜在的采用者数成正比例，则可以得到如下的等式：

ИdN(t)dt=(p+qA(t))(M-N(t))(3)

将A(t)=N(t)MТ入到式(2)中，可以得到：

ИdN(t)dt=(p+qN(t)M)(M-N(t))(4)

在t=0时，A(0)=0，求解式(3)，可以得到F(t)的表达式如下：オ

A(t)=1-exp(-t(p+q))1+qpexp(-t(p+q)) (5)

从而可以计算得到t时刻的首次购买者的人数：

F(t)=(A(t)-A(t-1))M(6)

1.2 R(t)У墓兰篇

对于重置购买者R(t)У墓兰疲传统的处理办法是将其看成是各种影响潜在采用者选择该类产品的因素所决定的一个复杂函数。例如文献［1-3］中，将当期广告策略和价格策略这些因素考虑进来，构造一个复杂的对数函数来估计R(t)。д庵址椒ǎ无法体现出产品用户间的信息交流和影响，只是一种宏观上的表达方法。在这里，我们也将这个看成是受多种因素影响下的结果，可以直观地表示为如下的一个隐式方程：

R(t)=f(F(t),Pp(t),Pa(t),S(t-1),Q(t-1))(7)

其中:F(t)是t时刻的首次购买者的人数，Pp(t)是t时刻的商品的价格，Pa(t)是t时刻的商品的广告投入，S(t-1)是商品的历史累计销售量，Q(t-1)是商品的历史质量。 我们并不直接去求解这个隐式方程的表达形式，而是借助元胞自动机模型来估计R(t)。オ

2 元胞自动机模型

2.1 元胞自动机模型设计

根据CA建模的基本方法，建立快速消费品产品扩散的基本模型如下：

1)元胞为消费者;

2)元胞空间可以有很多种,本文是棋盘式网格。

3)邻居形式为简化问题, 这里选取典型的Moore 型,即每个消费者周围有8个邻居，如图1所示。

4)元胞状态空间。设元胞的状态空间为Е={0,1,-1,2,-2}。в胍酝的研究者对于元胞状态的定义不同的是，本文按照状态转换概率变迁值的大小，将元胞所处的状态划分为5种，其中，状态0表示该元胞处在还未使用过该产品的状态，是潜在的使用者；状态1(-1)表示该元胞处在正在使用该产品并且对于该产品的满意程度偏好(或偏差)的状态，是一个不稳定的初级使用者；状态2(-2)表示该元胞处在正在使用该产品并且对于该产品的满意程度非常高(或非常低)的状态，是一个比较稳定的长期使用者(或者稳定的反对者)。

5)状态更新规则。众所周知，人对事物的认知过程是缓慢、连续、曲折的一个过程。同样，对于事物的评价也是类似的一个过程。因此，在元胞状态的转换过程中，我们认为它同样满足这样的一个模式，即状态间的跳变只存在缓慢的邻近状态之间的跳变(例如从状态1(-1)跳变成状态2(或-2))，不存在剧烈的状态跳变(例如从状态2直接跳变成状态-2)。形式化地可以将元胞的状态转换规则表示为如图2的一个有限状态自动机模型。

显然，从图1的有限状态自动机模型，可以得到如下的关系式组：

paa+pab+pac=1(8)

pbb+pbd+pbc=1(9)

pcc+pcb+pce=1(10)

pdd+pdb=1(11)

pee+pec=1(12)

而对于式(8)~(12)中的各个概率值的估计办法，本文则在2.2节中进行详细的介绍。

同时，在状态更新规则定义中，除了考虑元胞自身状态的变迁规则定义外，还要考虑元胞之间相互作用影响的定义。为了简化问题，只考虑在上面定义的8近邻间的相互影响作用，并记(i,j)ё标的元胞CijУ8近邻为Ne(i,j)，认为处在中心点的元胞所受到其他元胞信息的影响程度与两者之间的距离相关，并记这个影响参数为Е仟k，Ы似地可以认为处在左、右、上、下位置的4近邻的影响因子为Е仟k=θ1/4，而处在对角位置的近邻的影响因子为ηk=θ1/8，其中θ1是一个可调节的影响因子系数。オ

2.2 基于元胞自动机模型的R(t)估计オ

在快速消费品产品消费中得到较高效用的消费者心理满足程度，决定了该用户是否愿意再次购买该产品，成为潜在的购买者。而营销策略中的价格策略和广告策略对于潜在的购买者的心理诱导效应，也会影响到消费者做出何种类型的选择。

为了简化讨论，本文按照式(7)所包含的影响因素，大致归为如下几类：1)产品综合质量，记为Q(t-1)(注意这里是用t-1时刻的产品历史质量信息，因为对于当前时刻的产品质量情况，只有在消费者购买后，使用完才能获得当前时刻的质量信息。)；2)产品的价格，记为Pp(t)；3)产品的广告投入，记为Pa(t)；4)产品的市场占有率，包括F(t)和S(t-1) 。オ

我们认为，在外界环境不变的情况下，元胞间的状态转换是按照图1所示，以相应的概率进行随机的状态跳变。而式(7)所包含的各种因素是改变和影响这一状态转换过程的外在动力。因此，可以先按照某种规则构造一个图1的有限状态自动机模型，然后将式(7)所考虑的各种因素，引入到该模型中，从而可以计算并更新各个元胞的状态。

本文根据各个状态所代表的现实意义设置状态将转换概率的初始值如下：

paa=1-F(t)/M=1-A(t)

pab=pac=0.5×(1-A(t))

pbb=pbc=k/(2k+1)

pbd=1/(2k+1)

pcc=pcb=k/(2k+1)

pce=1/(2k+1)

pdb=1/(2k+1)

pdd = 1-(1/2k + 1) = 2k/(2k + 1)

pec=1/(2k+1)

pee=1-1/(2k+1)=2k/(2k+1)И

其中，新引入的参数k(k>1)Т表的是用户从该产品的不稳定用户到固定用户转变的难易程度。

在考虑外界因素和内在因素两方面的影响下，我们定义t时刻第i行第jЯ性胞对该产品的综合评价指标(即综合满意度)Iij(t)为：

Iij(t)=δ×(θ2O(t)+(1-θ2)Gij(t))+

(1-δ)×Iij(t-1)(13)

O(t)=θ3exp(-γ1Pp(t)Q(t-1))+(1-θ3)×

ln(γ2Pa(t)S(t-1))(14)

Gij(t)=18∑Cij∈Ne(i,j)ηkIij(t-1)sign(Cij)(15)

Е仟k=(θ1/4) or (θ1/8) (16)

sign(Cij)=

+1, Cij当前的状态值为1,2

-1, Cij当前的状态值为-1，-2

(17)お

其中：Е泉2,θ3,γ1,γ2为需要根据数据设置的缩放系数；Е莫是个人评价改变速率；Е泉4是积极评价与消极评价划分的阈值。

由此Moore 邻居中各元胞状态的更新过程，可大致用图3予以描述。

到目前为止，我们已经可以计算得到t时刻每个元胞(i,j)Ф杂诓品的综合评价指标Iij(t)，Ц据这个指标就可以算出每个元胞对于该商品的满意度评价。由于重置购买者是从购买过该产品的潜在用户群中产生的，因此，为了比较真实地模拟现实世界，在现有的用户满意度评价指标信息的基础上，借助前面定义的基于概率的有限状态自动机模型，来模拟仿真用户对该商品的购买情况。

因此，利用一个两级判断来最终决定在整个元胞空间中的哪些用户会最终选择购买该商品。具体而言，在第一级的判断中，首先将每个用户的满意度评价和一个预先设置的购买该商品所需要的最低满意度评价进行比较，初步选择出可能成为重置购买者的人员；接着进行第二级判断，即利用一个随机函数产生较弱的随机值pr，判断生成的随机数pr是否大于阈值p┆min，Т佣最终判断这些可能成为最终重置购买者的用户是否会决定购买该商品。因此，只要对最终成为重置购买者的总人数(记为N┆sum)进行统计，就可以得出需要求解的R(t)值。从而可以得出：オ

Buy(Iij(t))=

购买,Iij(t)≥θ4 且 pr≥p┆min

不购买, 其他

(18)オ

R(t)=N┆sum(19)

3 实验仿真与结果分析

下面运用Matlab仿真软件对基于Bass和元胞自动机的混合模型的快速消费品的扩散进行模拟分析。实验使用的是1999年~2006年全国乳制品销售量作为实验测试数据。数据来源于中国奶业年鉴。

3.1 模型参数影响测试

图4和图5分别是累积采用者所占市场份额和首次购买者的总人数。Я1999年对应于t=1，2000年对应于t=2，以此类推，2006年对应于t=8。Т油贾锌梢钥闯觯在FMCG产品刚投入到市场中时，首次购买所占比较大的份额。一开始首次购买销量不断呈上升趋势，гt=6时达到最大值。其后首次购买量逐渐下降，此时重置购买开始占据较大市场份额。オ

图6显示的是在广告影响下的FMCG扩散。曲线描述的是当广告影响因子分别为Pa，Pb时的FMCG扩散，其中Pb>Pa。Э梢钥闯鏊孀殴愀媲慷鹊脑黾樱消费者对产品的公共满意度(即The Ot value)明显提高，并呈上升趋势。

图7描述了价格因子分别为Pp1，Pp2，Pp3时的FMCG扩散，其Pp3=2Pp2=20Pp1。Т油贾锌芍价格偏高可使消费者对产品的公共满意度有所提高，但是提高幅度并不太大。即单纯的降低价格并不能提高产品销量，这也验证了经济学上的价格与消费者购买意向负相关的原理。

3.2 模型数据拟合分析

3.2.1 数据拟合分析

Я钋痹谙费者总数为13亿。对于在求解式(2)过程中将涉及到的各参数值，Р捎梅窍咝宰钚《乘法(Nonlinear Least Square，NLS)进行参数估计，并运用Matlab软件进行相关数据处理。从而估算出中国乳制品扩散模型的各项参数值，根据上述参数估算值，得出拟合误差分析结果，见表1,其中相对误差=（实际值-估算值）/实际值。

由表1可以看出，运用此混合模型得到的1999年~2006年间乳制品的估算值和实际值间的误差平均值为4.11%，拟合度为96.7%，拟合程度良好，所以上述估算值是比较合理的，可信度比较高。

下面用本文提出的混合模型对2007年~2009年三年间的乳制品销量进行预测并与根据中国奶业年鉴统计出的乳制品实际销售量对比，见表2。

可见，预测结果与实际值比较接近，预测结果相对比较科学可靠。有效验证了该混合模型对于快速消费品扩散研究的科学性与可行性。

4 结语

本文依据消费者对FMCG的购买特点建立了基于Bass和元胞自动机模型的快速消费品产品扩散模型。综合考虑了首次购买和重置购买过程中面临的各内外部因素的影响。该模型不仅能够对首次购买者进行宏观上的整体预测，而且能够在对重置购买者的预测中提供比较接近现实世界的微观模拟。通过实验的仿真模拟，也证实了该模型的合理性及可行性。此混合模型采用一个隐式方程计算重置购买者人数，认为其受到首次购买人数、产品的价格和广告策略、产品的历史销量和质量指数的影响。然而在整个FMCG的扩散过程中，内外在的影响因素众多，在这里只考虑到了一些基本因素的影响，因此在预测中可能会存在一些误差。

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