输油管线铺设方案

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摘要：本文针对输油管线的布置问题建立优化模型，针对几种给定情况进行优化设计，并运用Auto CAD绘出了直观示意图，应用数学软件求出管线布置方案的最佳费用。根据两炼油厂与车站不同的位置情况，建立平面直角坐标系，利用分类讨论的思想提出合理的设计方案。通过对公司一、公司二、公司三权重分析，综合考虑选取公司一；利用镜像原理确定车站的位置，从而设计出管线的布置方案，得出相应的费用。最后，对模型作出评价，并进行推广，对类似模型和相关问题具有一定的参考价值。

Abstract: Based on pipeline layout problem, the optimization model for optimal design of a situation is established. Basing on several given situation, the optimization design is conducted. The optimal cost of pipeline layout is achieved by adopting Auto CAD to draw diagram and using mathematics software. According to the different position of the two refineries with the station, the rectangular coordinate system is established and the reasonable design scheme is proposed by using classification discussion ideas. By comprehensive consideration of the weight of the three companies, the first company is chosen. Using the image principle, we determine the position of the pipeline layout design and the corresponding cost. Finally, the evaluation of the model is made and popularized which will have certain reference value to the similar model and relevant problems.

关键词：普遍性；目标函数；最值；镜像原理；管线铺设

Key words: universality；objective function；the optimal value；image principle；pipe layout

1问题的提出

随着我国改革开放的进一步深化，各地的工业发展，经济建设对石油、天然、电力需求越来越大，出现了西油东输、西气东输、西电东输等工程。为此设计部门需要在考虑营运成本，各种自然条件设计出合理的运输管线，以满足各方面的需求。本文根据具体问题为某油田设计出在不同条件下对输油管进行合理的布置，在铁路上选出最佳的车站位置。将两炼油厂加工的成品油运出，使其建立管线费用最省。

1.1 针对问题一的提出：

某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上建立一车站，根据炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距的各种不同情形以及是否有共用管线，设计出铺设管线费用最省的方案。

1.2 针对问题二的提出：

设计院根据具体情况，给出两炼油厂的分布，如图1所示。

并给出将要聘请的三家工程咨询公司铺设城区管线的附加费用如表1。

为设计院给出管线布置方案及相应的最小费用Z。

2模型假设

①铁路为直线，不考虑铁路为弯曲的情形；

②在所设计方案路线中所遇问题（人为因素、自然因素），由工程咨询公司解决；

③共用管线能保证两炼油厂成品油正常输出；

④管线铺设为直线型，忽略因自然因素造成的管线弯曲；

⑤管线接头或拐弯处不产生其它附加费用；

⑥在工程咨询公司的选取时可根据以往的经验，从资质、费用进行加权平均合理选取；

⑦在设计院给出管线的具置图后，设计方案是可操作的。

3符号约定

A、B：表示两炼油厂；

N：表示建立在铁路线上的车站；

M：表示共用管的交汇点；

l1：A厂到铁路线的距离；

l2：B厂到铁路线的距离；

l3：A、B两厂在水平的间距（A、B两厂到铁路线垂足间的距离）；

c:铺设各种管道费用相同时的费用（共用管道和非共用管道，万元/km）；

c1:铺设输送A厂成品油管道的费用（万元/km）；

c2:铺设输送B厂成品油管道的费用（万元/km）；

c3:铺设共用管道输送成品油的费用（万元/km）；

c4：城区铺设管道的附加费用（万元/km）；

?棕：各公司的权重；

Z：费用总和。

4问题的分析

4.1 针对问题一：（平面直角坐标系模型）

欲在铁路线一侧建造两炼油厂和在其上增建一个车站，根据两炼油厂位置的不同情况进行设计。在建模过程中利用“平面直角坐标系”，将A、B、C、D在平面直角坐标系中表示出来，利用两点之间的距离公式建立数学模型，找出费用最省的设计方案。（用c1=c2=c3=c表示共用管线和非公用管线的费相同，c1≠c2≠c3表示各费用不同。）

4.2 针对问题二：（几何方法模型）

根据题目已给的图形与数据进行分析得知：城区与郊区的建设费用分为两块，第一部分为城区铺设管道费用，需从三家工程咨询公司选取建设费用较省且施工质量、资质较高的单位，通过加权求平均数的方法得出选择公司一；第二部分为在郊区铺设管道费用，此时共用管线与非公用管线的费用相同。利用“两点到一条直线上的距离之和最短”（镜像原理），建立数学模型并求解。

5模型求解

5.1 模型求解（问题一）：

通过题目的建立直角坐标系（如图2所示）：

Ox为铁路线，A、B为两炼油厂的位置。根据两炼油厂位置的不同情况分别进行讨论：

5.1.1 当M点与A点重合时，有以下两种情况（如图3、图4所示）：

①当B点在y轴上（如图3所示）

根据两点间的距离公式可以得到：管道铺设费用：

Z=•c2+•c3…（1）

（利用导数求最值的方法，求得z有最小值）

当c1=c2=c3=c时；Zmin=+l1•c；

当c1≠c2≠c3时，Zmin=•c2+l1•c3

此时车站应建立在原点位置（即为A到铁路线的垂足处）。

②B点不在y轴上的情况（如图4所示）：

Z=（l2-l1）•c2+•c3

（利用导数求最值的方法，求得Z有最小值）

当且仅当x=0时，最小，

当c2=c1=c3=c时，Zmin=[（l2-l1）+l1]•c=l2•c；

当c1≠c2≠c3时，Zmin=（l2-l1）•c2+l1•c3。

此时车站应建立在原点位置（即为A到铁路线的垂足处）。

5.1.2 当M点与N点重合时，即无共用管道（如图5所示）：

根据两点间的距离公式可以得到：管道铺设费用：

Z=•c1+•c2

（利用导数求最值的方法，求得Z有最小值）

?圯x=

AN=x1=•

BN=x2=•

当c1=c2=c3=c时

Zmin=（x1+x2）•c=•+••c

当c1≠c2≠c3时

Zmin=x1•c1+x2•c2=•+••c2

车站建在距原点处。

5.1.3 一般情况（如图6所示）：

设AM=x1=，BM=x2=，MN=x3=y

Z=•c1+•c2+y•c3

可利用数学软件得出x，y最优值，由x，y最优值可得到x1，x2，x3最优值。

为了简化表示：设AM=x1，BM=x2，CM=x3

①当c2=c1=c3=c时，则Zmin=（x1+x2+x3）•c

②当c1≠c2≠c3时，则 Zmin=x1•c1+x2•c2+x3•c3

5.2 问题二的分析解答：

针对问题二进行分析，现炼油厂A、B已确定如图7:

由题意可知：三家咨询公司的费用和资质不同，则需进行对公司的选取。通过以往的管线铺设，一般聘请施工费用较低且公司资质较高的单位。根据实际情况，给公司一、公司二、公司三赋予权重分别为0.4，0.3，0.3，则：?棕ici/i=0.4×21+0.3×24+0.3×20=21.6（万元）。根据加权平均法可以判断出公司二不合适，24>21.6；而对于公司一和公司三均符合，但是考虑到公司一具备甲级资质，施工质量较高，费用合理；则选取公司一。

情况1（如图8所示）：

因为所用管线的铺设费用均相同，所以为了使得管线建设费用最省则只需两炼油厂和车站之间铺设的管线之和最小。作BB'Ⅰ、Ⅱ的分界线，作A点关于铁路线的对称点A'即作A的镜像A'，使得AC=CA'，连接A'B'即找到N点，N点便是最合适点（镜像原理）。

AN+BN=A'N+B'N=A'B'

A'B'=

Zmin1=•c+（l-c）•c4=×7.2+（20-15）×21=×7.2+105=247.9（万元）

情况2（如图9所示）：

作的反向延长线，CA'=AC连接A'B交界线与点E（原理同上）。

A'B=

设BE=x，A'B=

=

又由AN+BN=A'N+BN

Zmin2=21x+-x×7.2

=254.04（万元）

通过对以上两种不同情况求解得到Z1=247.9万元，Z2=254.04万元，Z1

6模型的评价

6.1 优点：

①本文模型Ⅰ合理的利用平面直角坐标系，清晰的表述各点位置，利用分类讨论的思想，结合实际情况对所提出的问题进行求解。贴近实际，通用性，推广性较强。

②本文模型Ⅱ结合实际问题，利用加权平均法合理选取公司一，对问题的分析清晰，并且合理。

6.2 不足之处：

①在建模过程中，假设经路轨道直线，但在实际生活中存在曲线，给模型带来一定的误差。

②模型建立上是从最优化进行考虑的，没有多方面对问题进行讨论求解。

7模型的推广

①模型不但适合于铺设输油管线问题，还适合于城市有水管道的铺设、公路修建等实际问题。

②模型方便、直观，可以实现计算机模拟。

③建模的方法和思想可以推广到其他类型，如解决电站供电问题、车辆调度问题等。

参考文献：

[1]姜启源，谢金星，叶俊.数学模型[M].北京：北京高等教育出版社，2003.

[2]吴建国.数学建模案例精编[M].北京：中国水利水电出版社，2005.

[3]陈东彦，李冬梅，王树忠.数学建模[M].北京：科技出版社，2007.

[4]刘峰.物流运筹学[M].上海：上海交通大学出版社，2005.

[5]王国廷，史明霞.新编工程数学[M].大连：大连理工大学出版社，2002.