半封闭隧道动力特点

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众所周知，土体具有粘弹性性质，在长期条件下发生蠕变和应力松弛现象。许多研究者经常利用经典的Maxwell流体模型、Kelvin固体模型及标准固体粘弹性模型等来反映土体的流变特征［1－2］。然而，经典粘弹性模型难以精确描述土体流变全过程，即在蠕变和应力松弛初期不能完全与试验数据吻合［3－4］。另外，将土体视为弹性两相介质，Lu和Jeng［5］得到简谐移动荷载下三维圆形隧洞的动力特性，分析了应力、位移和孔压幅值随轴向的变化规律。此后，黄晓吉等［6］人研究了饱和土－弹性衬砌系统耦合振动特性，着重讨论了衬砌模量对响应幅值影响；高盟等［7］研究了冲击荷载作用下饱和土－弹性衬砌相互作用的瞬态响应。Hasheminejad和Kazemirad［8］得到了地震激励下偏心衬砌透水隧洞的动力响应，讨论了变形衬砌厚度、波入射角等参数的影响。考虑土体粘性影响，Xie等［9］、Xu和Wu［10］、Liu等［11］等利用Kelvin－Voigt模型描述土骨架的应力－位移本构关系，研究深埋隧洞或球空腔的动力响应。为解决围岩压力理论计算衬砌承受荷载及成本高问题，Li和Chen［12］、Xie等［13］、刘干斌等［14］等研究饱和弹性或粘弹性土－圆形隧洞壳体衬砌系统的振动特性。考虑隧洞的弹塑性解，张黎明等［15］得到了衬砌透水隧洞的应力和位移场。基于实际工程影响，汤雷和傅翔［16］、吕玺琳和王浩然［17］分别研究了水工隧洞施工缺陷对衬砌承载性能影响和软土盾构隧道开挖面的稳定性。然而，自Bagley和Torvik［18］提出分数导数概念以来，其理论弥补了经典粘弹性模型的这一缺陷，可更好地拟合蠕变和松弛曲线［19－20］。但是，利用分数阶导数本构关系在岩土工程领域中的应用研究较少。因此，本文在现有研究的基础上，基于Biot理论，利用分数导数模型来描述土骨架的应力－位移本构关系，引入更符合实际工程的部分透水边界条件，得到了在轴对称荷载和流体压力作用下饱和分数导数粘弹性土体中半封闭隧洞的位移、应力和孔压表达式。分析了分数导数阶数、材料参数和相对渗透系数对系统响应的影响。

1数学模型和控制方程求解

如图1，建立饱和粘弹性中圆形衬砌隧洞的数学模型。隧洞的内外半径分别为c和b，衬砌的厚度为h＝b－c；a为衬砌中曲面半径。土体的剪切模量和孔隙率分别为G和φ0，其泊松比为vs，衬砌的杨氏模量和泊松比分别为El和vl；衬砌内边界分别作用轴对称荷载q0eiωt和均布流体压力qfeiωt（i2＝－1）。将该问题视为平面应变问题，根据Biot饱和土理论，不计体力时极坐标下饱和粘弹性土体动力方程为［21］式中：urS、wrF分别表示土骨架的径向位移和流体相对于土骨架的径向位移；σrST、σθST代表土体的径向和环向总应力；土体的总密度为ρ＝（1－φ0）ρs＋φ0ρf，ρs，ρf分别为土骨架和流体的密度。显然，极坐标下分数导数模型描述的土骨架应力－应变本构关系为［19］为求解用位移表示的控制方程，利用位移势函数urS＝φS／r和wrF＝ψF／r再引入如下无量纲量和常量

2.流体压力下的边界条件流体压力条件下接触面位移和应力协调以及隧洞边界部分透水的边界条件为：将式（15）—（17）分别代入边界条件式（19）、（20），可得到待定系数A1，A2，B1，B2表达式，进而得到轴对称荷载或流体压力作用下饱和分数导数粘弹性土体－半封闭圆形隧道壳体衬砌系统耦合振动的频域响应。

3算例与图形分析

为了考察分数导数阶数、材料参数、相对刚度和衬砌渗透参数对径向位移幅值U＝如图2表示在η＝1．5处经典粘弹性饱和土（γ＝1）情形下有无h／2衬砌厚度对无量纲径向位移幅值的影响。可见，考虑h／2衬砌厚度下，隧洞边界轴对称荷载时位移幅值的峰值略大于忽略h／2衬砌厚度情形下位移幅值的峰值，但是差异并不明显，且随着频率λ的增加，2种情形下的结果几乎相同。而在流体压力作用下2种情形的位移幅值完全一样，与刘干斌等［14］的结论一致。图3为η＝1．5处分数导数阶数γ对位移幅值U的影响。轴对称荷载作用下，当频率λ＜1．5时，随着阶数γ的增加，位移幅值U逐渐减小，共振效应随之减弱。而当频率λ＞1．5时径向位移幅值随着阶数γ的增加反而增大。图4表示相对渗透系数κ改变时，径向位移幅值U随无量纲半径η的影响。轴对称荷载下，随着相对渗透系数的增加，位移幅值U逐渐减小，并指出senjuntichai［22］中边界透水κ∞和不透水κ＝0两种极限状态只是本文的特例。而材料参数比Vσ／Vε对径向位移幅值U的影响与分数导数阶数γ对位移幅值的影响有类似之处（图5）。可见，隧洞边界轴对称荷载情形下位移幅值U远大于流体压力情形下的位移幅值U。图6和图7分别表示阶数γ和材料参数比Vσ／Vε对孔压幅值P的影响。轴对称荷载情形下，当频率λ＝0时孔压幅值P为零，并且随着阶数γ的增加而减小，经典粘弹性饱和土（γ＝1）时，孔压幅值达到最小值。流体压力作用下，当频率λ＝0时孔压幅值最大，而阶数γ对孔压幅值P的影响很小（图6）。而材料参数比Vσ／Vε对孔压幅值P的影响与阶数γ对孔压幅值P有相似之处。

4结论

利用分数导数模型描述土骨架的应力－位移本构关系，在频率域内得到了饱和分数导数粘弹性土体中半封闭隧洞内边界分别在轴对称荷载和流体压力作用下位移、应力和孔压的表达式。考察了分数导数阶数、材料参数和相对渗透参数对饱和粘弹性土体－弹性壳体衬砌系统响应的影响。得到以下结论：1）轴对称荷载情形下，分数导数阶数γ对饱和粘弹性土－半封闭圆形隧洞壳体衬砌系统动力响应的影响远大于流体压力条件下系统动力响应的影响。2）通过图形对比分析，有效地证明了将衬砌的中曲面等效为衬砌和土体的接触面，得到忽略h／2厚度的计算结果是正确的，验证了将衬砌视为薄壁壳体是可行的。3）轴对称荷载情形下土体和衬砌渗透系数对系统动力响应的影响与流体压力情形下对系统响应的影响有明显差异。当渗透系数κ＝100时，边界接近透水状态。4）轴对称荷载下，系统响应存在明显的共振效应。而流体压力条件下不产生共振现象。