小学数学课程统整:从理解到行动
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摘要：在课程改革已然行进十多年的今天，作为课程实施者的教师对于课程的理解仍然是片面与狭隘的。文章从课程研究者与实施者的双重角度，解读了小学课程统整的现实需求、理性思考与探索实践。从“教”的课程到“学”的课程，从“学”的课程到“研”的课程，从“研”的课程到“创”的课程，深入阐述了课程统整中三个层次的具体策略。
中图分类号：G622 文献标志码：A 文章编号：1673-9094（2014）05-0039-05
收稿日期：2013-03-12
作者简介：王岚，常州市武进区清英外国语学校（江苏常州，213161）副校长，教育硕士，中学高级教师，常州市小学数学学科带头人，武进区名教师。
关于课程的定义，众说纷纭，仁智各见。课程是教学的科目，课程是学习的进程，课程是有计划的教学活动……而在一线教师的眼中，课程又是什么？从理想的课程到可能的课程，从可能的课程到现实的课程，在教、学、研中，我们收获着个性化的理解。
一、源自一种呼声――让教学从问题走向研究
【现象1】三年级下册《认识小数》第一课时。
师小结：像0.1，0.3，2.1，7.8....这样的数都是小数。
生举手示意：我在超市里看到过零点九十九，是不是小数呢？
另一生：小数是不是都是很小的数呢？
师：这些问题都很有价值，我们在后面的学习中一起研究。
【现象2】三年级教师期初集体备课。
师1：本册教材共分为十个单元，分别是……
师2：从教材编排来说，各单元内容分散安排是充分考虑到学生认知发展与数学逻辑体系的。
师3：但板块分割过多过细，也出现了一些现实问题。一个学期多达十个单元，像“认识分数”“观察物体”这样的单元都只有两三课时。教学中有蜻蜓点水之感。
师3：“统计和可能性”和“观察物体”，在不同年级多次出现，就要避免在同一个层面上无谓重复。
师4：是呀，教什么？教到怎样的程度？对于我们这些一线教师来说是一个值得研究的课题。
为什么而教（学）？教（学）什么？怎样教（学）？一直是教者常问常新的三个本原问题。从现象1来看，这位教师无疑已经在课堂上做出了自己的回答，不越雷池半步，不肯定不否定不追问，而以“这些内容我们在后面的学习中一起研究”作为搪塞，这样的现象不仅在家常课中司空见惯，就是在某些名优教师的展示课中也可管中窥豹。而现象2中，教师们已然遇到或者预见到可能出现的问题，以教材为蓝本的课程与以师生为主体的课程之间显然还有很大的差距，而文本课程与现实课程之间的鸿沟，需要师生携手逾越。
面对现实的问题，基于理性的思考，我们以课题组为研究单位，开启了一段课程统整的研究之旅。
二、源自一种觉醒――让教者从系统视野出发
从系统论的观点出发，世界是众多关系的集合体，是普遍联系的整体。从这个意义上来说，教师需要建构关于数学内容、教学对象以及教学过程的系统视野。
（一）数学世界中的“木林森”
数学世界对于教师而言究竟是什么？是一棵葱郁的大树？是一片茂密的树林？还是一望无际的森林？不同的人有不同的答案。“一叶障目”者有之，“只见树木，不见森林”者更是比比皆是。如果我们把教师的专业知识结构按本体性知识、条件性知识和实践性知识进行分类，那么对应的分别是学科知识、教育理论、教学经验。教育理论积淀日益丰厚、教学经验逐步增长的同时，决定着数学学科本质导向的学科知识却常常被人淡忘。小学数学教师要做到“深入”与“浅出”，不仅要系统了解小学数学的知识结构，同时也要跳出小学视域对几何学、代数学、概率论等有所了解；不仅要知道数学知识的呈现方式，还要能明了知识的核心思想、来龙去脉与教育价值。
（二）儿童视域中的“点线面”
数学课程改革的一个总方向，就是让数学教学回归教育的本体――儿童。数学既是学生成长的需要，又是学生成长的载体。每一个儿童的数学学习都是基于自身经验，用自己独特的思维方式进行意义建构的过程。从这个意义上来说，教师不仅需要关注儿童学习什么，还要关注儿童怎样学习，以及如何促进儿童积极学习。需要教师明确儿童成长的关键点，明晰儿童认知的发展线，明辨儿童发展的立体面，让数学伴随儿童发展、陪伴儿童成长。
（三）教学空间中的“长宽高”
教学空间不应是闭塞的，而应是开放的。教学过程不应是线性的，而应是立体的。儿童学习的数学不应是数学知识的简单汇集，而是通过对数学知识的原味解读、数学学习的原态发生、数学思维的原质提升，构建出具有数学教学意义的立体空间。通过拉升长度（研究的时效性）、拓展宽度（学习的延展性）、提升高度（数学的思想性），构建出独富数学特质的“长宽高”三维教学空间，使得儿童在数学学习中能够获得智慧的启蒙、素养的滋润和生长的力量。
三、源自一种行动――让课程从实践深处创生
（一）从“教”的课程到“学”的课程
从“教”的课程到“学”的课程的转变，是教者中心到学习者中心的转变，是从教材中心到学习载体的转变。这样的转变，需要教者与学习者在共同商议的基础上进行。
1.条状重组
将教材中零散的内容纵向打通，根据其内在的逻辑结构以及学生的认知发展序列，重组两个或两个以上的内容点，从简到繁，由易到难，形成一个易于使学习者学习与掌握的贯穿多个教学内容的知识结构。在进行条状重组时，既可以跨课时进行重组，也可以跨单元进行重组，甚至可以跨学期、跨年段进行条状重组。
条状重组的三个原则：
（1）紧密联系性原则。重组的两个或两个以上的内容点，必须在知识结构中位于同一知识链中。
（2）合理发展性原则。通过重组加工后的内容，对于学习者而言并没有刻意增加难度，而是更利于学习者同化与顺应，完善认知结构。
（3）差异选择性原则。对于重组的内容，不同学习基础的学习者有权利选择适合自己的学习方式与学习进度。
如：整数乘法在苏教版中是这样编排的。二上：认识乘法、乘法口诀、表内乘法。求几个几是多少的实际问题，求一个数的几倍是多少的实际问题。二下：两位数乘一位数，乘加、乘减两步计算的实际问题。三上：三位数乘一位数，连乘计算的两步实际问题。三下：两位数乘两位数，乘法的验算。通过条块重组后，在前期研究一位数、两位数、三位数乘一位数的基础上，可引导学生自我探索，你还想计算几位数乘一位数，举例试一试，再说说你是怎样想的？从而通过不同学习者的广泛举例，观察比较归纳总结，得出任意多位数乘一位数的算理与算法。
2.块状重建
与条状重组相对应的则是块状重建。将教材中零散的横向两个或两个以上的内容点，按其内在的类特征组成一个整体，引导学生类比迁移，从而把握特征形成结构。块状重建，以思想方法统领内容体系，以思维方式统领教学体系。
块状重建的三个原则：
（1）熟悉化原则：可以将后续内容点（陌生的问题）转化为先学的内容点（熟悉的问题），也即可以运用熟悉的知识、经验和问题来解决。
（2）简单化原则：可将后续内容点（复杂的问题）转化为先学的内容点（简单的问题），通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据。
（3）迁移化原则。横向的两个或两个以上的内容点，其本质的思想方法是类通的，在新内容的学习过程中，可以进行正迁移。
如在图形的面积、体积计算中，运用块状重建进行思考：圆可以分成一些相等的扇形，再拼成一个近似的长方形，从而推导得出圆面积计算公式；直圆柱的两底面是半径相等的圆，因此可以把圆柱底面分成若干个相等的扇形，按底面扇形大小切开，再拼成一个近似的长方体，从而导出圆柱体体积计算公式。在圆面积与直圆柱体积的推导过程中，块状重建有利于通过类比迁移获得从平面图形研究到立体图形探索的新跨越。
3.立体重构
无论是纵向沟通还是横向联系，对教材内容进行的都是精加工。当我们把视野放宽到整个年级、整个学段，甚至儿童的整个生活中去时，你会发现无论是横向重组还是纵向重构，虽然构成了知识链与知识块，但仍然受限于局部。
而立体重构，对教材内容则是进行深加工。条块结合，立体重构，需要教学者与学习者共同将视野拓展到更宽、更大、更深处，立足于数学发生发展的脉络、立足于学生认知发展的序列，审视、再造、创新结构链、结构块到结构网，甚至是结构体。
约瑟夫・D・诺瓦克（Joseph D.Novak）于20世纪70年代，在康奈尔大学（Cornell University）发展出概念图绘制技巧。当时，Novak教授将这种技巧应用在科学教学上，作为一种增进理解的教学技术。他认为，概念图是用来组织和表征知识的工具。它通常将某一主题的有关概念置于圆圈或方框之中，然后用连线将相关的概念和命题连接，连线上标明两个概念之间的意义关系。下图就是Joseph D.Novak概念图模型[1]。在数学教学上，借助概念图，同样可以帮助学生建立网络化知识结构。一个正确的概念图，就是学习者头脑中数学知识结构的准确投射。概念图能有效促进概念间的横向与纵向联系，通过稳定的整体性概念框架帮助学习者巩固输入正确输出。在整理与复习中，教师可以引导学生自我构建内容概念图，在旧知基础上提出新的探索话题，真正做到温故而知新。
（二）从“学”的课程到“研”的课程
从“学”的课程到“研”的课程的转变，是学习者中心到研究者中心的转变，是从学习内容到研究载体的转变。这样的转变，更彰显学习者、研究者的本体作用，更强调作为人的发展的主动性、持续性。
1.教材内容与生活现实的沟通
教材内容源于人们的现实生活世界，同时又是人类生活经验的高度浓缩与抽象。数学中的规律、性质、概念、定义、法则等，源于生活又高于生活。沟通教材内容与生活世界，意义在于实现“形式化”思维的质性提升，从而引导学生真正“数学地”思维。在此过程中，需要引导学生用数学的眼光去观察生活现实，发展数学问题，揭示数学概念，归纳数学规律，建构数学模型，并逐步感悟提炼出解决问题的有效策略。
如：前例中认识小数就可以借助生活现实重组内容，基于现实经验认识小数的产生，同时基于十进分数的含义，借助价格单位及长度单位理解小数的意义。通过单位正方形到单位线段的抽象，进而过渡到数轴，引导学生将单位线段平均分成十份，一百份，一千份.....认识一位、两位、三位小数。在此过程中，基于现实，又高于现实；基于生活，又上升为模型。
2.课程内容与学生经验的链接
儿童不是空着脑袋走进课堂的，而是带着生活中各种各样对于数学的理解进入课堂的。在现实生活中，儿童已经收获了很多带有数学味儿的实践经验，在此过程中发展了许多非正式的数学认知。学生的数学学习并不是独立于他们所生活的复杂社会环境中的一个体系，家庭、公园、超市都是发生数学学习的天然课堂。虽然在此过程中儿童获得的经验不一定是完整和科学的，但基于“街头数学”建构“学校数学”体现的是对学生经验的应有尊重。学校数学学习就是让这种新旧知识之间有机连接，将学生经验与课程内容发生有效链接，从而不断完善学生的经验系统，形成更为科学、正确、丰富的认知结构。
3.学习内容与儿童实践的对接
儿童的学习是基于经验的，同样儿童在学习中也是获得经验的。而这种经验在很大程度上依赖于儿童的数学学习实践。在新课程标准从双基走向四基的今天，我们更加关注到“基本的活动经验”的重要性。儿童视阈中的数学不应简单地等同于数学知识的汇集，不应被看做无可怀疑的真理的集合，而应主要被看做儿童的一种“创新性建构”。儿童的数学学习，是数学研究的“准实验”。活动是儿童的经验建构的重要方式。在真实的有意义的情境活动中学习数学，让数学学习成为“真实的数学研究”，更为符合儿童心智的发展。如：《认识人民币》中构建超市购物的实践情境，通过顾客与营业员的角色扮演，付款购物的情境感知，赋予生活情境以数学性，让儿童在问题解决的过程中经历真正的“儿童的”数学学习活动。
（三）从“研”的课程到“创”的课程
从研的课程到创的课程的转变，是课程实施者到课程创生者的转变，是从课程内容转换到课程体系重构的转变。这样的一种创生，不仅属于敢于开拓的教师，也属于敢于创造的每一位学习者。
1.做好课程统整的加减乘除
课程与教学究竟是什么？当很多人还在做着匀速圆周运动的时候，作为课程研究者的教师已经开始描绘属于课程的美丽螺线。北京星河实验小学的马芯兰老师，以100道典型数学问题作为主题，囊括小学数学的应知应会。而在语文界，一个星期学完一册教材早已不再是新闻。无论是怎样的改革路径，在统整课程中，创生课程需要做好加减乘除。
（1）加：增加挑战性
针对不同学习者的不同需求，根据最优化发展原则，让每个学习者在相同的学习时间内获得自身所能得到的最大收益。让每一节数学课都充满研究的意蕴，让每一个课堂都充满挑战的快乐，让每一个学习者都感受到数学学习的价值与意义。
（2）减：删减重复性
在进行数学课程的内容统整时，常常涉及到对不同课时、不同单元、不同学期、不同年段的内容进行调整、补充与替换。因此，系统性思考必不可少。尤为重要的是，在各个年段统整的过程中，要避免炒冷饭、夹生饭现象，做到减少重复，杜绝无效。
（3）乘：迁移结构性
课程的统整，是内容的统整，是结构的统整，也是方法的统整。在此过程中，可以迁移的不仅是内容的结构、教学的结构，更是方法的结构。数学学科中的性质、规律、公式、定理等，大多可以遵循“发现问题――进行猜想――验证猜想――获得结论――模型运用”这样的“数学知识再创造”过程。
（4）除：提炼思想性
授人以鱼，不如授人以渔。一种答案管一下子，一种方法管一阵子，一种思想管一辈子。问题解决策略包含三个层次：即数学基本思想方法、解题方法或解题技巧以及介于这两者之间的策略本身。在统整课程的过程中，不仅要关注过程，更要关注方法，同时引导学习者反省认知，将方法提升为策略，将策略升华为思想。
2.创新数学课程的主题单元
课程的创新，不仅体现在教学素材的选择、教学方法的选用、教学过程的选定，更为宏观是在融通内容、融合经验、融会资源的基础上进行主题单元构建，从而推进系列化的学习与系统化的研究。从主题单元的产生来源可以分为两类，一类是结构生长式：以知识本身的生长为线索，另一类是主体探究式：以学习者的关注点为线索。
（1）结构生长式
以数学知识内容的生长为研究序列主线，从核心关键点出发，形成研究网络。结构生长式课程设计既是一种课程理念，又是一种教学模式。如：在有关长方体和正方体的内容教学时，可以将长方体和正方体的认识、表面积、体积等整合为主题课程单元“走进长方体的世界”（如上图）。在此学习过程中，师生共同构建出一个开放的挑战性环境，指向学生自主学习能力的提升、学习型团队的构建与自我反思意识的增强。
结构生长式主题课程的展开，重点在于从核心关键点处，根据内容的特点生发出新的研究点，并整理形成研究网络图。
（2）主体探究式
在关系思维的视域中，宇宙是其一切事物的相互联系的整体，如果每一个人都能与这一背景建立联系，经验到自己与世界联为一体，人类的生活才能完满和富有意义。从整体教育的角度来解读，学习被看做是有机的经验过程，进行关联是课程加工的核心。[2]而这需要教师能够熟悉学生所学习的全部内容，实现学科知识的综合或再组织。
主体探究式的课程主题单元，以主题为链接的中心，以儿童为研究的核心，在学生经验范围内共同选择确定主题，让学生能探索、解释，并在此过程中获得丰富的数学学科甚至多学科学习的体验，其结构如下图所示。
确定主题后，通过研究与该主题相关的概念，并辅之以多样的活动，帮助学生体验世界，透过经验建构有意义的个人知识。如“春游”主题中，可以结合位置与方向感受“四面八方”的相对位置，渗透“速度、时间、路程”“单价、数量、总价”的函数关系，结合“加法”“减法”“乘法”“除法（余数根据现实需要进行处理）”的四则运算，同时综合运用24时计时法、计量单位的认识等。在此过程中，体现自选的课程、生长的课程、合作的课程，通过内容的统整、资源的统整、目标的统整，实现经验的统整与能力的统整。
课程研究无止境，课程统整有境界。钟启泉先生在《追寻课程与教学的本真意义》中写道：“课程因被窄化为‘公共的知识’和‘预设的计划’屏蔽了儿童与其生活的交往；教学因被固化为知识传递的特定程序与步骤泯灭了师生的探究性与创造性，学习因被矮化为机械的接受和训练放弃了儿童应有的自主且负责任的创造。”而我想说，在追寻课程与教学本真意义的路上，理想不会虚化、课程不会窄化、教学不会固化、学习不会矮化、儿童不会物化，每个人――每位教师、每位学生都在统整课程，又或者他们本身已然是课程的一部分。
参考文献：
[1]裴新宁.概念图及其在理科教学中的应用[J].全球教育展望，2001（8）.
[2]安桂清.整体课程论[M].上海：华东师范大学出版社，2007：11-13.
Primary School Mathematics Integration： Understanding and Action
WANG Lan
（Wujin Qingying Foreign Languages School， Changzhou 213161， China）
Abstract： Even today with over ten years of curriculum reform， teachers， as implementors of curriculum， are partial and incomplete in understanding curriculum. This essay， from two angles of researchers and implementors， construes the realistic demand of primary school curriculum integration， rational thinking and exploration. Also， the three-level concrete strategies in the integrating of curricula are analyzed from teaching to learning， from learning to studying， and from studying to creating.
Key words： primary school mathematics； curriculum integration； understanding； action