探讨一类具有时滞的病毒模型的hopf分支

开篇：润墨网以专业的文秘视角，为您筛选了一篇探讨一类具有时滞的病毒模型的hopf分支范文，如需获取更多写作素材，在线客服老师一对一协助。欢迎您的阅读与分享！

摘 要：本文主要以时滞为参数，讨论一类具有时滞的病毒模型的hopf分支的存在性。

关键词：病毒模型；时滞；hopf分支

1 引言

生物体内存在着大量的病毒，病毒与抗病毒细胞的相互作用过程成为目前研究的焦点。Bocharov G.A建立起淋巴细胞性脉络丛脑膜炎病毒感染与抗病毒的细胞毒性T淋巴细胞反应的数学模型，Tatyana Luzyanina在文献中利用数值分析的方法对Bocharov G.A所建立的数学模型进行了分析，并得到了一个简化的数学模型：

■

其中V表示淋巴细胞性脉络丛脑膜炎病毒数量，Ep表示抗病毒的细胞毒性T淋巴细胞的预兆因子的数量，Ee（t）表示抗病毒的细胞毒性T淋巴细胞的效应器数量。各个参数代表的意义如下：bp表示激活的抗病毒的细胞毒性T淋巴细胞的比率；bd表示分化的抗病毒的细胞毒性T淋巴细胞的比率；β表示病毒的繁殖率；E0p表示淋巴细胞性脉络丛脑膜炎病毒与抗病毒的细胞毒性T淋巴细胞的平衡浓度；αEP表示抗病毒的细胞毒性T淋巴细胞的预兆因子的自然死亡率；αEe表示抗病毒的细胞毒性T淋巴细胞的的效应器的自然死亡率；γVE表示由效应器导致的病毒的消亡率；τ表示抗病毒的细胞毒性T淋巴细胞分裂的平均持续时间。

Tatyana LUzyanina在文献中对系统的持久性做了详细的研究。众所周知，时滞会导致平衡点的失稳及周期解的产生。在本文，我们将以时滞为参数来研究其hopf分支问题。

2 hopf分支的存在性

在本节，我们主要通过讨论系统（2）线性部分对应的超越特征方程的根的分布情况来分析正平衡点的局部稳定性。为了方便起见，我们记，x（t）=V（t），y（t）=Ep（t），z（t）=Ee（t），a=β，b=γVE，c=αEP，m=bp，n=bd，l=αEP，k=E0p，a=β，b=γVE，c=αEP，m=bp，n=bd，l=αEe，k=E0p，则系统（1）可转化为：

■

很明显，系统（2）有唯一正平衡点E0=（x0，y0，z0），其中，x0=■，y0=■，z0=■。系统（2）在E0处的线性部分为：

■

所以方程（3）所对应的特征方程为：

λ3+m2λ2+m1λ+（n2λ2+n1λ+n0）e-λτ=0 （4）

其中m2=l+c，m1=lc，n2=-mx0，n1=al-mlx0，n0=alc.

当τ=0时，方程（4）转化为：

λ3+（m2+n2）λ2+（m1+n1）λ+n0 （5）

直接计算容易知道：n0>0，m2+n2>0.

假设条件（H1）成立，（m2+n2）（m1+n1）-n0>0成立，则由Routh-Hurwitz准则，方程（5）的所有根均具有严格负实部。

下面讨论方程（4）具有一对纯虚根的充分条件。假设iω（ω>0）是方程（4）的根，则：

-ω3i-m2ω2+m1ωi+（-n2ω2+n1ωi+n0）（cosωτ-isinωτ）=0 （6）

分离实虚部得：

m2ω2=（n0-n2ω2）cosωτ+n1ωsinωτm1ω-ω3=（n0-n2ω2）sinωτ-n1ωcosωτ （7）

两式左右两端分别平方相加得：

ω6+pω4+qω2+r=0 （8）

其中，p=m22-n22-2m1，q=m12-n12+2n0n2，r=-n02，

令z=ω2，则方程（8）可记为

z3+pz2+qz+r=0 （9）

记h（z）=z3+pz2+qz+r （10）

引理1 设r

（1）=p2-3q≤0；

（2）=p2-3q>0，且-p-■

则方程（9）有且只有一个正实根。

显然，r=-n020，若=p2-3q≤0，由引理1（1）可知，方程（9）有唯一正根，若=p2-3q>0，则有-p-■

引理2 方程（9）存在唯一的正根。

设方程（9）的唯一正根为z0，则方程（8）有唯一的正根ω0=■，由方程（7）易见：

cosωτ=■

因此，如果记

τk=■{cos-1（■）+2kπ}，k=0，1，2，… （11） （下转第33页）

（上接第12页）

则有如下结论：

引理3 当τ=τk时，方程（4）只有一对纯虚根±iω0。

记λ（τ）=α（τ）+ω（τ）为特征方程（4）满足α（τj）=0，ω（τj）=ω的根。

则如有下结论：

引理4 假设h'（z0）≠0 ■≠0.

证明：对方程（4）两边关于τ求导得：

{3λ2+2m2λ+m1+[2n2λ+n1-τ（n2λ2+n1λ+n0）]e-λτ}■=λ（n2λ2+n1λ+n0）e-λτ

即（■）-1=■+■-■

从而有■=■h（z0）

其中，∧=（n0ω0-n2ω03）2+（n1ω02）2

于是■=sinn■=sinn[■h（z0）]

由于h'（z0）≠0，因此■≠0。

证毕。

由上分面的分析结果，及文献hopf分支定理，我们有如下定理：

定理1 如果条件（H1）及hh'（z0）≠0成立，则有：

（1）当τ∈（0，τ0）时，系统（2）的正平衡点E0渐近稳定。

（2）τ=τk是系统（2）的hopf分支值，即在τ=τk附近系统（2）分支出小振幅的周期解来。

参考文献：

[1]Bocharov G.A.Modelling. the Dynamics of LCMV infection in Mice：Conventional and Exhaustive CTL Responses[J]. Journal of Theoretical Biology，1998（192）：283-308.

[2]Tatyana Luzyanina，et al.Low level viral persistence after infection with LCMV：a quantitative insight through numerical bifurcation analysis[J]. Mathematical Bioscienceses.2001（173）：1-23.

[3]Aying Wan，Xingfu zou.Hopf bifurcation analysis for a model of genetic regulatory system with delay[J].Math.Anal.Appl.2009（356）：464-476.

[4]闻祖庥.泛函微分方程理论[M].合肥：安微教育出版，1994：94-111.