分形市场中的汇率协整关系

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摘要:本文将混沌与分形运用到汇率研究中,运用R/S方法研究了外汇收益率的长记忆性,并将传统的协整理论推广到广义的分数维协整,研究了时间序列之间的长期均衡关系,并以外汇市场中的欧元和新加坡元兑美元的汇率为例进行了实证分析,指出这两种货币收益率服从分形分布,具有相同的分整阶数且二者存在分数维协整关系。

Abstract: In this paper ,the chaos and fractional theory is applied in the research on the foreign exchange rate. The long memeory ofthe return of foreign exchange is researched by way of R/S method. Furthermore, the conventional cointegration theory is extended to fractional cointegration, and the long-term stability relationship among serieses is also studied. At last, the empirical analysis on exchange rate of Euro and Singapore Dollar to US dollar indicates that the return of the two money are both subject to fractal distribution,the order offractional-integer (FI) time serie are equal ,and there exists frational cointegration.

关键词:分形;R/S分析;汇率;分数维协整

Key words: fraction;R/S analysis;foreign exchange rate;frational cointegration

中图分类号:F830.9 文献标识码:A文章编号:1006-4311(2010)31-0035-02

0引言

随着全球金融一体化的发展以及国际间的资本流动加快的影响,国际金融市场变得越来越复杂,竞争日趋激烈,而反映它变化的汇率越来越被人们所重视。最新的研究成果指出,汇率变化并非是随机游走,而是存在着长期相关性,是一个具有非线性特征的变化过程,因此传统金融学中的标准统计分析方法就不再有效了,这时需要一些非参数统计方法。而分形理论又是非线性理论中比较常用的理论之一。同时,分形理论中的思维角度和计算方法都给金融问题提供了十分有效的解决方案,而对于汇率的研究也是这一领域中的一个重要分支。因此,用分形理论来研究汇率问题是十分恰当的。

众所周知,影响汇率变动的因素繁多,其运动的随机动态过程很难把握,要准确选择购售货币的品种以达到保值增值和规避风险的目的并不是一件容易的事,值得深入研究。因此,寻求不同货币之间的长期均衡关系就显得越来越重要了。Engle[1]等于1987年提出了寻求系统内部存在的长期线性均衡关系的线性协整的定义。但Engle等的协整概念是在向量序列的单整阶数全部相等的基础上提出的,因此具有很大的局限性。程细玉[2]等针对整数阶的局限性问题,提出了分数维协整的概念。

本文拟对现行外汇市场中的欧元和新加坡元兑美元的汇率进行协整研究,以期发现它们之间是否存在着长期平稳关系,从而为人们制定投资和套期保值决策提供有益的参考。

1R/S分析方法简述

R/S分析(the rescaled range analysis,重标极差分析)最初是由水纹专家H.E.Hurst在1951年提出来的,是最著名的分形分析方法之一。该方法主要通过R/S计算出该序列的H值,并根据H值来判断该序列的性质。

1.1 计算重标极差(R/S)及Hurst指数将一个长度为M的时间序列x分成A个长度为N(2≤N≤L,L表示最长子区间的长度)的相邻子区间,使得A×N=M。令:

x=∑(x-M), t=1,2,……,N (1)

R=Maxx-Minx(2)

其中,xt,a是第a个区间的累积离差,Ma是第a个区间的均值,RN是对应于子区间长度为N的极差。

为比较不同类型的时间序列,郝斯特用观测值的标准差去除极差RN,得到的重标极差R/S应满足下面的关系式:

(R/S)N=(aN)H(3)

其中,N为子区间长度,(R/S)N为对应于N的重标极差,a为一常数,H即为郝斯特指数,且0H1。

对(3)式两端取对数可得:

log(R/S)N=C+HlogN(4)

通过log(R/S)N对logN进行回归就可得到H的估计值。

1.2 ARFIMA模型以向后移位算子B来表示自回归过程非常普遍,对于离散时间序列有:

B(xt)=xt-1(5)

(1-B)xt=xt-xt-1 (6)

对(1-B)dxt中的d,当d为整数时为大家熟悉的整数阶差分,当允许d为任何实数(包括分数值)时,则(1-B)dxt能以分形噪声的方式产生出持续性与反持续性。为了描述均值中的长记忆成分,Granger和Joyeux[3]以及Hosking[4]独立地提出了分整ARMA过程,即ARFIMA过程,其形式为;

(B)(1-B)(y-)=θ(B)ε (7)

其中:(B)=1-∑B,(1-B)=∑B,θ(B)=1-∑θB,ε是白噪声。

可以证明[5]:Hurst指数与分形差分算子d之间有一个直接的关系:d=H-0.5 (8)

1.3 通过H和分形差分算子d的值判断序列走势Hurst指数和相应的时间序列分为3种类型:

当H=0.5,即d=0时,时间序列是随机游走的。序列中不同时间的值是随机的和不相关的,即现在不会影响将来。

当0≤H≤0.5,即-0.5≤d≤0时,这是一种反持久性的时间序列,常被称作“均值回复”。如果一个序列在前一时期是向上走的,那么它在下一个时期多半是向下走,反之亦然。这种反持久性的强度依赖于H离零有多近,越接近于零,这种时间序列就具有比随机序列更强的突变性或易变性。

当0.5≤H≤1,即0≤d≤0.5时,表明序列具有持续性,存在长期记忆性的特征。即前一个时期序列是向上(下)走的,那下一个时期将多半继续是向上(下)走的。趋势增强行为的强度或持久性随H接近于1而增加。

2协整与分数维协整

协整的概念涉及两个或两个以上在短期内可能以相对不同方式进行运动的序列间的长期均衡关系,它反映了在经济系统存在长期均衡这一事实,这种潜在的均衡或有规律的关系反映在所观察到的时间序列上就是它们之间的协整关系。协整的概念最初是由Granger与Engle[6]、Granger[1]提出,由Johansen[7]等学者发展起来的。

如果一个序列y经过d次差分可以表示成为一个平稳可逆的ARMA过程,则称它是d阶单整的,记为yt～I(d)。当d为分数时,则称序列是分整的。

对于m维向量时间序列X,其分量序列成为(d,b)阶线性协整的,记为Xt～CI(d,b),如果

(1)X的分量序列均是I(d)的;

(2)存在一个向量α≠0,使得α′X～I(d-b),(b>0),其中α为协整向量。

传统的协整研究一般都局限于I(1)/I(0)形式,即设定d=1与b=1。其一般的做法是首先对所研究的序列进行单位根检验,如果单位根存在,然后实施协整检验,方法主要有EG两步法和Johansen方法。但是在特定的背景下,特别是对于呈现长记忆特性的金融时间序列来说,I(1)/I(0)形式有着太大的局限性。如果允许协整定义中的b,甚至d为分数,则称此时的协整关系为分数维协整的。

下面给出分数维协整的几个结论:

定理1[2]:若X1t～I(d),X2t～I(d),d≠0,则任给的实数β≠0,X1t+βX2t～I(0)或I(d′),(d′d)。

即,两个分整阶数相等的时间序列经过任意的线性组合后可能变为稳定的序列,或者仍是分整的,但阶数一定不会大于原序列的阶数,如果组合序列的阶数严格小于原阶数,则二者存在分数维协整关系,此时,虽然组合序列不是平稳的,仍然有记忆性,但记忆性减弱。

定理2:若X1t～I(d1),X2t～I(d2),d1,d2≠0,且d1

推论:若X1t～I(d1),X2t～I(d2),d1≠d2,则X1t与X2t不存在协整关系。

定理2 及推论说明分整阶数不相等的两序列,不可能存在协整关系。即分整阶数相等是存在分数维协整的必要条件。

以上结论也可以推广到n(n>2)个变量的情形。

3实证分析

本文所研究的数据是来自亚洲的新加坡元和来自欧洲的欧元分别兑美元的日平均汇率,是以单位美元所表示的值。样本期间是2006年6月21日至2008年8月13日,共785个观察值。数据来源于。在分析中,由于汇率回报是我们观察汇率变动的最关心的一个指标,而它复利形式计算,连续复利计算是最方便的,因此,我们将所研究的汇率对数价格数据进行一阶差分处理:rt=InPt-InPt-1,得到了784个数据,分别以EUR和SGD来表示欧元、新加坡元兑美元汇率的日回报值。在计算过程中,将用MATLAB语言自编程序和Eviews5.0软件结合的方法进行。

从表1可以看出,收益的分布是有偏及尖峰的(峰度均大于3,偏度均不为0),这些特性通常是由非线性随机过程产生的长期记忆系统的证据。因此有必要采用非线性的方法如非线性R/S方法进一步分析这两种汇率的特性。

在利用R/S分析法之前,为消除短期相关性,需要对两序列进行ARMA处理,通过 “自相关和偏自相关分析图”(篇幅所限,这里不再列出),对EUR进行ARMA(2,1)处理,得序列TEUR,对SGD进行ARMA(1,1)处理,得序列TSGD。

由表2的第2、3行可以看出,两种汇率收益率的Hurst指数H,从而分整阶数d并无显著差异,可以认为具有共同的分整阶数,由定理1知,二者可能存在分数维协整关系。

下面用E-G两步法,寻找可能的协整向量。

建立回归方程:EUR=α+βSGD+εt得:

EUR=-3.07e-05+1.18711SGD+εt(11)

(-0.364491) (25.34746)注:(括号内为相应参数t统计值)

残差序列εt的基本统计量见表3。

显然εt仍然不稳定,根据“自相关和偏自相关分析图”(略),对残差序列εt进行 ARMA(2,1)处理,消除短相关,得序列et,利用R/S分析法对et的估计结果见表2的第4行,显然,et的分整阶数小于原序列的分整阶数,说明两种汇率经过特定组合后虽然不能彻底消除长记忆性,但是可以适当减弱,二者之间存在分数维协整关系,具有某种程度的长期均衡关系,由式(11)的回归方程可以看出,协整向量为(1,-1.187)。而通过Granger因果检验(见表4),可以发现,在95%的置信水平下,可以认为欧元收益率是新加坡元收益率的格兰杰成因,但后者不是前者的格兰杰成因,这说明二者的长期均衡关系主要表现为欧元收益率对新加坡元收益率的影响。

4结论

本文使用R/S分析方法来度量时间序列的长期记忆性,并引入分数维协整理论来分析两种汇率收益率之间的协整关系。实证结果得到结论如下:

①两种货币对美元的日回报率均存在长期记忆性,且分整阶数相同。

②分数维协整检验结果显示这两种汇率之间存在分数维协整关系,虽然组合后的序列没有彻底消除长期记忆性,变成稳定的序列,但是至少记忆性减弱了,因此研究它们之间的协整关系也是有意义的,为人们制定投资和套期保值决策提供有益的参考。

③通过对来自亚洲的新加坡元和来自欧洲的欧元分别兑美元的日平均汇率的分数维协整分析,可以看出各国经济与美国经济具有十分密切的联系,美国的经济不仅对发达的工业化国家有着重要的作用,并且对亚洲地区的经济也有很强的影响,同时Granger因果检验也表明欧元经济与亚洲经济之间的长期均衡关系主要表现为欧洲对亚洲地区的影响。

参考文献:

[1]Engle,R•F. and Granger, C•W•J. Cointegration and Error Correction: Representation, Estimation andTesting [J]. Econometrica,1987,55:251-276.

[2]程细玉,张世英.向量分整序列的协整研究[J].系统工程学报,2000,15(3).

[3]Granger CWJ,Joyeus R .An introduction to long memory time series and fractional differencing [J].Journal of Time Series Analysis ,1980,1:1―29.

[4]Hosking J R M.Fractional differencing[J].Biometrika,1981,68:165-176.

[5]埃德加.E.彼德斯.分形市场分析[M].北京:经济科学出版社,2002.

[6]Granger, C•W•J.Developments in the study of cointegrated economic variables [J].Oxford Bulletin of Economics and Statistics,1986,48:221-238.

[7]Johansen S.Statistical Analysis of cointegrated vectors[J].Journal of Economic Dynamics and Control,1988,12:231-254.

[8]侯永建.外汇市场的分形分析[J].财经理论与实践,2002,23(120):75-78.

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