运用联想思维构造解四面体“外接球”
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【摘 要】联想思维是人们在认识事物的过程中，根据事物之间的某种联系，它是一种由此及彼的思维过程。联想思维在认识活动中起着桥梁和纽带作用，它是解答数学题的一种基本思考方法。四面体的外接球问题是近几年高考的热点，本文通过运用联想思维的方法来举例解答一些四面体的外接球问题。
近年来，在高考中经常出现四面体的外接球问题。此类问题注重考察学生的空间想象及化归能力，但同学们又因缺乏较强的空间想象能力求解困难，尤其对于构造法，学生是又爱又恨，爱于其巧妙地将问题转化为长方体外接球问题，恨在拿到题目“我为什么没有想到呢”。为了让学生通过联想思维来掌握此类问题的构造解法，知其然知其所以然，进行了以下归纳：
问题2：棱长为2的正四面体外接球的表面积为_____；
一般性解法：过底面的外心，作底面垂线，在垂线上寻找球心，再利用直角三角形计算球的半径及表面积。
拓展延伸：什么样的四面体问题可以通过构造长方体或正方体模型来研究呢？这样的四面体有何特殊的几何特征呢？
若运用逆向联想思维来思考这个问题，不难联想到：欲借助构造法来解四面体的外接球问题，要思考什么样的四面体4个顶点均在长方体（或正方体）顶点上，等同于思考长方体（或正方体）8个顶点中任取四个可以连出几类四面体？按照组合方式不同画出图形大致分为以下四类，并归纳出各类的图型特征，供大家参考。
类型一、三条侧棱两两垂直
例1：三棱锥P-ABC中，为等边三角形，PA=PB=PC=2，PAPB，三棱锥P-ABC外接球的表面积为_____；
解析：如图3所示，由PA=PB=PC，AB=AC=BC，则ACP？艿BCP？艿ABP，得知PA、PB、PC两两垂直，因此如图4，棱长为2的正方体对角线即是此三棱锥的外接球直径，求得表面积为12π。
【参考文献】
[1]李金宝.求正四面体外接球半径的方法[J].理科考试研究，2015年09期
[2]李晶，张国坤.探寻四面体外接球球心位置[J].上海中学数学，2014年09期