人工喀斯特地区污水处理的数学模型求解及分析

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摘 要：对喀斯特污水处理的数学模型传递问题，在非稳定情况下利用拉普拉斯变换对污染物浓度进行了求解，并分析了模型中各参数对污染物浓度的影响，为人工污水处理系统除污效应的研究提供了可靠的理论依据.

关键词：喀斯特；数学模型；拉普拉斯变换；污水处理

人工喀斯特污水处理系统原于对自然喀斯特地区的模拟，它利用自然生态系统中生物、物理和化学的三种协同作用来实现对污水的净化作用，这种喀斯特系统是在一定长度比及地面坡度的洼地中，由土壤和按一定坡度填充一定的填料（如泥土、砂石等）的混合物结构的填料床组成，并在床体表面种植物。具有处理性能好、成和率高、抗沙漠化强、生长期长、美观且具有经济价值的植物，它与在喀斯特地貌中、填料中生成的动物、微生物形成一个独特的动植物生态系统.污水流经床体表面和床体填料缝隙，通过过滤、吸附、离子交换、植物吸收及微生物分解等实现污水的高效净化.

对于人工喀斯特地区污水处理的研究，主要建立的是潜流人工喀斯特污水处理的数学模型.我们可将人工喀斯特地区反应器问题表述为二阶偏微分方程[1-9]：

[?c?t=A?2ci?x2-B?ci?x-rkc]. （1）

边界条件：

[x=0]，[ci=c0]，

初值条件：

[t=0]， [ci=c0].

其中[rmax，km]分别为最大降解速度和米氏系数，且都为常数.

一、对数学模型的分析和求解

由米氏方程可得[r（ci）=-rmax（ci）cikm+ci]，其中[rmax（ci）]为最大降解速度，[km]为米氏系数，[ci]为组分[i]的浓度.

当[ci

[?ci?t=A?2ci?x2-B?ci?x-rmaxkci].

边界条件为：[x=0，ci=c0]；初始条件：[t=0，ci=c0].使用拉普拉斯变换计算得到：

[c（x，t）=]

[c02expB2Ax+xB2+4Aλ2Aerfex+tB2+4Aλ2At][+c02expB2Ax-xB2+4Aλ2Aerfex-tB2+4Aλ2At]

[-c02expBAx-λerfex+B2A][-c02exp（-λt）erfex-B2A+c0exp（-λt）].

通过以上的计算，得到的表达式可以找到任何时刻在填料床的任意位置，污水中某组分的浓度。

二、对数学模型的进一步分析及求解

在米氏方程[r（ci）=-rmax（ci）cikm+ci]中，当[ci>>km]时，则[ci+km≈ci]。米氏方程可简化为[r（ci）=-rmax]，此时是当污染物浓度增加到一定浓度时，微生物全部与污染物结合后，微生物降解污水中有机物的反应速度达到最大值，此时增加污染物浓度对反应速度无影响，即遵守零级反应。则微分方程（1）变为

[?ci?t=Ai?2ci?x2-B?ci?x-rmax]. （2）

边界条件为：[x=0，ci=c0；x=l，ci=ce]；初始条件：[t=0，ci=c0].为方便，令[c=ci，A=Ai，r=rmax].则微分方程（2）为[?c?t=A?2c?x2-B?c?x-r].边界条件为： [c（0，t）=c0，c（l，t）=ce]；初始条件：[c（x，0）=c0].使用分离变量法可得，令[c（x，t）=u（x，t）+φ（x）].则

[?u?t=A?2u?x2-B?u?x+Aφ″（x）-Bφ′（x）-r].

令

[Aφ″（x）-Bφ′（x）-r=0]，[c（0）=c0，c（l）=ce]，经推理和计算得

[φ（x）=c0BexpBAl-ceB-rlBexpBAl-BexpBAx-rBx+ceB-c0B+rlBexpBAl-B].

因为[c（x，t）=u（x，t）+φ（x）]，则：

[c（x，0）=u（x，0）+φ（x）]，而[c（x，0）=c0]，

[u（x，0）=c0-φ（x）=c0][-c0BexpBAl-ceB-rlBexpBAl-BexpBAx+rBx-ceB-c0B+rlBexpBAl-B].

令

[f（x）=c0-c0BexpBAl-ceB-rlBexpBAl-BexpBAx+rBx-ceB-c0B+rlBexpBAl-B]，

则[u（x，0）=f（x）]，下面解微分方程

[?c?t=A?2c?x2-B?c?x]. （3）

[u（0，t）=0，c（l，t）=0，u（x，0）=f（x）].

令[u（x，t）=X（x）T（t）]，

则[?u?t=XT′，?u?x=X′T，?2u?x2=X″T.]将其代入微分方程得

[XT′=AX″T-BX′T]，[T′T=AX″X-BX′X]. （4）

令[T′T=AX″X-BX′X=-λAX″-BX′+λX=0]，

经过解此微分方程及分析计算得，当[λB24A]微分方程（4）的解为

[X=CexpB2Axsin4Aλ-B22Ax+DexpB2Axcos4Aλ-B22Ax].

其中[C，D]为实常数.又[X（0）=X（l）=0]，则[D=0]和[CexpB2Alsin4Aλ-B22Al=0]，所以[sin4Aλ-B22Al=0]，于是：

[4Aλ-B22Al=nπ（n=1，2，…）].

则[λn=n2Aπ2l2+B24A（n=1，2，…）].故

[Xn（x）=CnexpB2Axsinnπlx].

对每个[λn]方程[T′T=-λ]变为[T′T=-λn]，由此得[Tn（t）=Dnexp-n2Aπ2l2+B24At]，令[cn=CnDn]，故

[un（x，t）=Xn（x）Tn（t）=cnexpB2Ax-n2Aπ2l2+B24Atsinnπlx].

[u（x，t）=n=1∞un（x，t）=n=1∞cnexpB2Ax-n2Aπ2l2+B24Atsinnπlx].

将[t=0]代入上式可得[u（x，0）=n=1∞cnexpB2Axsinnπlx].

而[u（x，0）=f（x）]，因此

[f（x）exp-B2Ax=n=1∞cnsinnπlx]，

而表达式[n=1∞cnsinnπlx]正是函数[f（x）exp-B2Ax]的正玄展开式，因此有

[cn=2l0lf（x）exp-B2Axsinnπlxdx].

故

[u（x，t）=2ln=1∞0lf（x）exp-B2Axsinnπlxdx?expB2Ax-n2Aπ2l2+B24Atsinnπlx].

所以

[c（x，t）=u（x，t）+φ（x）]

[=2ln=1∞0lf（x）exp-B2Axsinnπlxdx?expB2Ax-n2Aπ2l2+B24Atsinnπlx]

[+c0BexpBAl-ceB-rlBexpBAl-BexpBAx-rBx+ceB-c0B+rlBexpBAl-B].

其中就有

[f（x）=c0+rBx-c0BexpBAl-ceB-rlBexpBAl-BexpBAx-ceB-c0B+rlBexpBAl-B].

以上就是在零级反应情况得到的解，我们通过求解的级数解就得到了在给定初值和边值后污染物浓度的值.

以上是人工喀斯特污水处理系统，它是一种经济而有效的污水处理技术.本文主要在两种情况下对人工喀斯特污水处理数学模型进行了求解，根据上述结论可以得到污染物在不同情况下的相对浓度，从而为人工喀斯特污水处理系统除污提供有效的理论依据.

参考文献

[1]欧阳光中，朱学炎，金福临，陈传璋.数学分析（上册）[M].高等教育出版社，第三版，2007（4）.

[2]欧阳光中，朱学炎，金福临，陈传璋.数学分析（下册）[M].高等教育出版社，第三版，2007（4）.

[3]金福临，李训经.常微分方程[M].上海科学技术出版社，1984（2）.

[4]王高雄，周之铭，朱思铭，王寿松.常微分方程[M].高等教育出版社，第二版，1983（9）.

[5]刘连寿，王正清.数学物理方法[M].高等教育出版社，第二版，2004（7）.

[6]赫孝良，戴永红，周义仓.数学建模竞赛（赛题简析与论文点评）[M].西安交通大学出版社，2003（6）.

[7]董志勇.环境水力学[M].北京：科学出版社，2006.

[8]周帮寅，王一平，李立.数学物理方程[M].北京：电子工业出版社，2005.

[9]查中伟.数学物理偏微分方程[M].成都：西南交通大学出版社，2006.

【基金项目】贵州省科学技术基金资助项目：2012GZ10526；贵州省科学技术基金资助项目： 2010GZ43286；贵州省毕节地区科研基金资助项目：[2011]02。

（作者单位：贵州省毕节学院数学系）