盘点“三数”新题型

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“三数”指的是平均数、中位数和众数，它们从不同的角度刻画了一组数据的集中趋势。有关“三数”的题型常在中考中出现。下面举例说明，供同学们学习时参考。

一、已知“三数”求数据之比

（2012年广东省茂名市中考题）某中学初三（1）班的一次数学测试的平均成绩为80分，男生平均成绩为82分，女生平均成绩为77分，则该班男、女生的人数之比为（ ）

A.1∶2 B.2∶1 C.3∶2 D.2∶3

分析 先设出该班男、女生的人数，然后根据平均数的定义列出等式，再对等式进行整理即可。

解 设该班男、女生的人数分别为x、y，依题意得， =80。

整理得，2x=3y，所以x∶y=3∶2。故答案选C。

点评 本题不是传统的已知一组数据求“三数”，而是由“三数”求数据之比，考查了同学们的逆向思维能力。

二、已知一组数据与某一基准数据之差求“三数”

（2012年山东省威海市中考题）某外贸公司要出口一批食品罐头，标准质量为每听454克，现抽取10听样品进行检测，它们的质量与标准质量的差值（单位：克）如下：-10，+5，0，+5，0，0，-5，0，+5，+10。则这10听罐头质量的平均数及众数分别为（ ）

A.454，454 B.455，454

C.454，459 D.455，0

分析 首先求得-10，+5，0，+5，0，0，-5，0，+5，+10这10个数的平均数及众数，然后分别加上454，即可求解。

解 -10，+5，0，+5，0，0，-5，0，+5，+10这10个数的平均数为

（-10+5+0+5+0+0-5+0+5+10）÷10=1，众数为0，所以这10听罐头质量的平均数为1+454=455，众数为0+454=454，故答案选B。

点评 上述解答用到了平均数的一个重要性质：如果一组数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为x，则数据x1+a，x2+a，x3+a，…，xn+a的平均数为x+a。本题若按常规方法解答，可先分别求出抽取的10听样品的质量，然后再求平均数及众数，但不如上面的求法简捷。

三、将不等式组与“三数”巧妙结合

（2012年四川省广元市中考题）一组数据2，3，6，8，x的众数是x，其中x又是不等式组2x-4>0x-7

A.3 B.4 C.6 D.3或6

分析 先求出不等式组的整数解，进而确定众数x，最后再找中位数。

解 解不等式组2x-4>0x-7

因为数据2，3，6，8，x的众数是x，所以x=3或6。

当x=3时，将这组数据从小到大排列为2，3，3，6，8，中位数为3；

当x=6时，将这组数据从小到大排列为2，3，6，6，8，中位数为6。

所以这组数据的中位数是3或6。故答案选D。

点评 本题巧妙地将不等式的知识与“三数”有关知识相结合，考查了学科内综合知识。

四、具有开放性的“三数”实际问题

（2012年江西省中考题）我们约定：如果身高在选定标准的±2%范围之内都称为“普通身高”。为了解某校九年级男生中具有“普通身高”的人数，我们从该校九年级男生中随机选出10名男生，测量出他们的身高（单位：cm），收集并整理如下统计表：

根据以上表格信息解决如下问题：

（1）计算这组数据的三个统计量：平均数、中位数和众数；

（2）请你选择其中一个统计量作为选定标准，并按此选定标准找出这10名男生具有“普通身高”的男生是哪几位？

（3）若该年级共有280名男生，按（2）中选定标准请你估算出该年级男生中具有“普通身高”的人数约有多少名？

分析 解答本题要注意对“选择其中一个统计量作为选定标准”的理解。由于统计量有三个：平均数、中位数和众数，它们都可以作为选定标准，因此本题具有开放性。

解 （1）平均数为

=166.4（cm）；

中位数为 =165（cm）；众数为164（cm）。

（2）若选平均数作为标准。

身高x满足：166.4×（1-2%）≤x≤166.4×（1+2%），即163.072≤x≤169.728为“普通身高”，此时⑦⑧⑨⑩男生的身高具有“普通身高”。

若选中位数作为标准。身高x满足：165×（1-2%）≤x≤165×（1+2%），即161.7≤x≤168.3时为“普通身高”，此时①⑦⑧⑩男生的身高具有“普通身高”。

若选众数作为标准。身高x满足：164×（1-2%）≤x≤164×（1+2%），即160.72≤x≤167.28时为“普通身高”，此时①⑤⑦⑧⑩男生的身高具有“普通身高”。

（3）以平均数作为标准，估计全年级男生中具有“普通身高”的人数约为：280× =112（人）；

以中位数作为标准，估计全年级男生中具有“普通身高”的人数约为：280× =112（人）；

以众数作为标准，估计全年级男生中具有“普通身高”的人数约为：

280× =140（人）。

点评 本题的亮点在于平均数、中位数和众数这三个统计量都可以作为选定标准，给了同学们充分的思维空间。