验证,岂能草草了之
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最近，听了一节《运算律――乘法结合律》一课，教者采用了“猜想――验证――应用”的教学模式，主要过程如下：
师：同学们，我们学习了加法结合律，谁来说说什么是加法结合律。
生1：三个数相加，可以先把前两个数相加，再和第三个数相加，或先把后两个数相加，再和第一个数相加，结果不变。
生2：用字母表示是（a＋b）＋c=a＋（b＋c）
师：我们知道，加法有交换率，乘法也有交换率。那么，加法有结合律，乘法是否也有结合律呢？
生3：我觉得应该有。（学生都觉得有）
师：如果乘法也有结合律，应该怎样表述呢？
（生仿造加法结合律仿说）
生4：三个数相乘，可以先把前两个数相乘，再和第三个数相乘，或先把后两个数相乘，再和第一个数相乘，结果不变。
生5：用字母表示是（a×b）×c=a×（b×c）
师出示：
师：为什么老师要在这上面加个“？”呢？
生6：因为这只是我们根据加法结合律猜的。
师：说的非常好，这只是我们的猜想（板书猜想），可我们还不知道对不对。下面我们该怎么办呢？
生7：证明它到底对不对。
师：好的，老师这里有几个算式，大家一起看一看。男生算左边的，女生算右边的。（出示）
（3×4）×53×（4×5）
（20×5）×620×（5×6）
25×（12×13）（25×12）×13
（学生分别进行验证）
生8：我发现它们都相等。
师：这个“？”能不能去掉呢？老师还是有些不放心，请每个同学再举几个例子证明一下，到底乘法结合律成立不成立。
（学生纷纷动笔举例验证）
师：你们的例子都相等吗？
生（齐）：都相等。
师：好的，老师现在可以放心的把这个“？”去掉了。
…………
听完这节课，应该说教者选择“猜想――验证――应用”教学模式是合适的，符合知识的特点，也符合学生的心理特点。猜想验证是一种重要的数学思想方法，正如荷兰数学教育家弗赖登塔尔所说“真正的数学家――常常凭借数学的直觉思维做出各种猜想，然后加以证实。”因此，小学数学教学中教师要重视猜想验证思想方法的渗透，以增强学生主动探索、获取数学知识的能力，促进学生创新能力的发展。本课的验证采用的是不完全归纳法，教者通过集体验证到自由验证，似乎验证的量已经不小，但我觉得教者在验证环节不够严密（本课的基本教学目标有两个：一是掌握乘法结合律并会应用其进行简便计算；二是交给学生“猜想验证”的数学方法）。如果仅仅靠举几十个例子就证明了猜想的正确，是不是潜意识的告诉学生：证明一个猜想的正确只要能举出几十个证明它正确的例子就可以了。这个结果是不严密的。那么，怎么解决这个问题呢？难道再举一些例子吗？当然不是，例子是举不完的，这是不完全归纳法的特点。我们应该换个思路证明，在学生自由举例结束后，再让学生举例，当然不是举正面的例子，而是举反面的例子：
（在学生举过例子后）
师：有没有同学举出的例子证明乘法结合律不成立的？如果你能举出这样的例子，你将是小亚里士多德。
……
虽然老师心里知道这是不可能做到的事，但必须做，通过这个环节，培养学生严密验证的习惯，他们将受益终生。因此，我觉得采用“猜想――验证”法教学，应包括以下几个环节：
一、感知――播洒思想方法的种子
感知是儿童认识的开始，没有正确的感知就不可能认识事物的本质和规律。心理学研究表明：学生感知越丰富，建立的表象越清晰，就越能发现事物的规律，获得知识。因此，教学中要给学生提供充足的能揭示规律的感性材料，引导学生动手做、动脑想、动口说、动眼看，使学生在做一做、算一算、想一想、说一说、看一看中获得丰富的感性认识，建立清晰的表象，搭建起知识结构物化与内化的桥梁，促使学生形成初步的猜想。如在上面的案例中，让学生回忆加法结合律，就是为猜想乘法结合律作铺垫。通过充分感知加法结合律，为乘法结合律的猜想播下种子。
二、猜想――展开思想方法的翅膀
猜想就是学生对所感知的事物做出初步的未经证实的判断，它是学生获取数学知识过程中的重要环节。波利亚曾说：“一个孩子一旦表示出某些猜想，他就把自己与该题连在一起，他们会急切地想知道他的猜想正确与否。于是，便主动地关心这道题，关心课堂上的进展。”因此，在学生大量感知，形成丰富的表象后，教师要给予学生充分的时间和空间，让学生根据自己的感知，用自己的思维方式自由地观察思考、分析推理，逐步从感性上升到
理性，然后相互交流讨论，形成合理的猜想。
三、验证――把握思想方法的方向
小学数学教学中一般采用不完全归纳法。因此，对于学生的猜想是否具有普遍性，可以从学生已有的生活经验和思维水平入手，提供足够的探索时空，让学生进行独立的、小组合作式的探索活动，亲身经历尝试、探索、验证过程，获得验证所学知识的能力。一般需要以下几个：
1. 集体验证 即由教师提供统一的验证材料，让学生一起算一算、说一说。通过集体验证，使学生掌握验证的一般方法。如在上面的案例中，猜想出乘法结合律后，教室出示了3道算式让同学们一起计算验证，为下面的自由验证做好准备。
2. 自由验证 即在学生掌握了验证的一般方法后，自己举例验证，证明猜想的正确与否。自由验证是非常重要的过程，它既可以保证验证达到一定的数量和范围，还可以让每个学生体会猜想的正确与否。
3. 反证 即通过反面的例子证明猜想是错误的，通过问一问“有没有同学举出的例子证明猜想是错误的”，来激发学生的兴趣。这是最重要的环节，看似没有什么实质作用，但它有利于学生形成良好的验证习惯。
四、应用――实践思想方法的途径
“实践是检验真理的唯一标准”，同样应用也是进一步检验猜想的重要途经。一个猜想的结论获得，特别是通过不完全归纳法验证出的结论，必须通过应用的洗礼，在应用中得到升华。
牛顿说过：“没有大胆的猜测，就作不出伟大的发现。”实践证明，在教学中重视猜想验证思想方法的渗透，有利于学生迅速发现事物的规律，获得探索知识的线索和方法，无疑会让学生在心理上产生一种极大的满足和喜悦，增强了学生学好数学的信心，激发了学生学习的主动性和参与性，从而更好地发展学生的创造性思维，提高学生自主学习能力和分析解决问题的能力。
（作者单位：江苏翔宇教育集团宝应县实验小学）
责编 / 郑永田