反比函数极值几何意义在钢桥节点板套料优化中的应用
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一、引言
现代铁路钢桥对跨度大、三桁、多线和公铁两用等特点日益重视，而整体节点钢桁梁是适合这类大载荷的主要桥型。整体节点相对于散拼节点有两个突出的优点，一是承受载荷大，节省全桥钢材用量，减少建设成本；二是施工效率高，缩短桥位施工工期。但整体节点相对于工厂而言，属于异形结构，其材料套料料耗显著增大，相对于散拼节点而言反而是增加了工厂制造成本。材料料耗占据了工厂制造成本的绝大部分，其中整体节点大节点板板厚一般在32mm～70mm，其中50mm比较常见，单项料耗一般在20%～35%。随着对厚板Z向性能概念的提出，内侧腹板往往还要求达到Z25、Z35性能要求，其材料采购成本进一步加剧。所以寻求最小控制成本还需要从技术上对套料后钢板尺寸规格进行优化来根本解决。当然，制定套料排板基本原则，确定各种切割余量，加工余量是首要的。
二、整体大节点板参数简介
通过总结已经施工完成的整体节点钢桁梁，如天兴洲、大胜关、榕江桥和千厮门等项目，可能看出此类工程均为三角桁式，属于一般整体节点。整体大节点板组成箱体的部分有：图1中的 B2部分构成杆件箱体， B1部分为连接斜竖杆部分。由于整体大节点部位为杆件汇交处，受力较复杂，板厚会加厚， B1+B2一般在2.5m～3.5m。 L1一般在3.5m～7m，然后对接一方板，组成整体节点的腹板。 R取值一般为400mm或500mm。对上述项目分析发现 B1与B2值会出现变化，对料耗影响比较大，其他参数值对料耗影响较稳定。大节点板数量上一般比较大，两桁每个上下弦节点至少8块，如三桁则至少为12块。大节点料耗约20%～35%，多个零件套料尤为明显。据不完全统计，桁梁全桥以8%～12%料耗来考虑，则大节点板料耗占其中的60%～75%。基于这些基本几何参数，如一张钢板排一块板，提出钢板规格宽度大、长度小，长宽不适合钢厂轧制，且料耗较大。在这种情况下，套料可以适当减小材料料耗，使提出钢板规格长宽较合理，适合钢厂轧制，提高整个生产效率。
所谓反比函数，其实就是标准位置的等轴双曲线绕原点逆时针旋转45°所形成的函数。等轴双曲线的离心率为，离心率相同的圆锥曲线图形相似，可知所有的反比例函数的图像都是相似图形。反比函数可以表示为：
或S=X*Y
对于一个确定的反比函数，其几何意义为图像上的点作X轴、 Y轴的垂线，则垂线与 X轴、 Y轴围成的面积为定值 S。那么推广到反比函数系的意义为，即定值 S为一系列的定值，这一系列的常数形成一个变化的系列。所有满足这个系列的双曲线都是相似的。为了进一步了解反比函数系的几何意义，可以通过圆锥曲面来理解，利用空间有一圆锥曲面： Y1+Z2=X2，该圆锥面以原点为顶点，以 X坐标轴为旋转轴，半顶角为45°。当该曲面以 Z坐标轴为轴，绕原点逆时针旋转45°时，其表达式为：
从这个函数可以看出反比函数系的几何意义，即不同 Z值，对应不同的反比函数，在几何上可理解为用与平面 XOY平行，高度为 Z值的平面与曲面 相截，截得的图像再投影到 XOY平面即是该特定的 Z值对应的反比函数的图像。
我们可以通过这样一个实例来了解反比函数极值的几何意义：求 的最大值。在坐标系平面意义是以点（-1，）为中心的双曲线系列与单位圆上相切时取得最大值（图2）。其几何意义为将圆锥曲面顶点移动到（-1，），单位圆形成的柱面与曲面相交形成的交线（图3）的最大Z值的平方的一半。为得到最大值首先形成交线如图4所示，得到的空间线再投影以转换成平面曲线，并利用相切直线来求得最高点如图5所示。
通过上述反比例函数结合实例可以得出函数的极值求解方法：设函数 F（X，Y=X*Y）是关于 X、Y的函数，且 X、Y满足条件关系函数 G（X，Y）=0，求 F（X，Y）的极值。可以利用曲面 与条件函数的几何意义来求解。
四、建立大节点套料分析函数及图像
为简化分析，暂不考虑切割缝，轧制边等余量。先选取两块大节点板套料来进行分析，首先要确定套料的优化性能，如图6所示，首先以不套料时，即套齐时最优点在 A’位置，做为比较的基准值。对于图1各个参数，显然 L3 =L2时，套L3端是优于L2端的。此时面积为：
如移动至B点，假设以第一块大节点左下角点为坐标原点，最终套料钢板规格受制于第二块大节点右上角点的坐标（x，y），最终钢板重量取决于面积 S=x*y。可见，以第一块大节点不动，第二块大节点右上角点运动轨迹为图中的PQRSTUW路径（箭头方向表示点的移动方向）。问题转换为求分段函数图像PQRSTUW的纵坐标与横坐标乘积的最小值。则移动至PQRSTUW路径上任意一点的坐标为（ x，y），则该点对应的面积为：
满足的条件是点移动必须在路径PQRSTUW上。
由此可见，优化套料钢板重量其实就是求 S=x*y的最小值，而 x和y对应的关系其实已经给定了，就是路径PQRSTUW形成的图像对应的函数关系。这个问题就是上面实例中给定的问题，可以通过函数的几何意义来求极值。图7为几何求做极值的方法。不需要太多分析，通过简单的立体投影就可以求得极值位置。在进行投影时用到了CAD的投影命令Project Geometry，可投影到曲面或平面上，而求极值可用XL命令结合tan命令修饰符。
可以分析该分段函数，结合PQRSTUW路径上 x与y在每一个路径段上的分段关系式，可以求出最值，表达式较复杂。笔者在对PQRSTUW各个分段上对应的函数，自变量取值范围，S的取值范围进行了分析和比较，表达式比较繁琐，求极值时应用到了mathcad、几何画板等软件求导，如图8所示，仅给出用极值取在圆弧区段的情况，用几何画板代数法做出的一个实例，表达式中 X表示点在圆弧上移动时，对应的弧度值，参数选择为最小值取在圆弧区域，如图8中红色标示的区域。改代数运算求取的结果与上述用几何意义作图得出的结果一致，可以进一步从代数的角度验证利用几何意义解决问题的准确性。
套齐点的位置是取决于 B1、B2的大小和 L1的长度。参考图9中PQRS’T’U’W’，当 B1大于 B2，则套齐点 R点后关系函数g（x，y） 的图像要镜像上去。
以B1大于 B2表示“耳大”，即将凸出杆件的异形部分形状称为耳。以 B1小于 B2表示“耳小”。为了更加形象的表示出随移动点走过路径， S的变化趋势，将移动点走过路径长度与S变化趋势绘制为图10，相当于把图11路径拉直。
通过上述分析，可总结为以下四种情形，套齐点在圆孤区域RS（耳大）极值点取在套齐点；套齐点在水平段ST（耳等）极值点取在圆孤区段；套齐点在竖直区域很接近拐点位置TU（耳稍小）极值点取在圆孤区段；套齐点在竖直区域离拐点有一定距离后UW（耳小）极值点取在套齐点，如图12所示。
一般碰到的耳等和耳稍小的情况并不多见，但在遇到的时候应特别注意，稍做分析即可取得最小值，大多数情况为耳小或耳大的情况。这个原理可以从图像上很直观地发现这个规律，可以总结为以下口诀：耳大套齐、耳小不套、耳等稍小宜套弧。其中，耳小不套是指耳小时不应将节点板反相，直接同向不套料，这样做是为了使余料最大化，减少余料块数，增加余料的可利用性。至于怎么判别耳大还是耳小，只要完成简单作图即可得知。
五、套料优化的经济效益
对于两块大节点板的套料，大节点料耗约20%～35%，三桁结构和大宽桁片等结构套料优化尤为重要。据不完全统计，桁架桥综合料耗以8%～12%来考虑，则大节点板料耗占综合料耗比重约为60%～75%。优化套料比不优化套料能降低大节点板3%～6%的料耗重量。相当于每1万吨钢梁，按0.35万/吨，考虑余料当做废钢的残值2000元，料耗平均成本约10000*11%*70%*5%*0.35=13万元，其成本控制不容忽视，以6万吨钢桁梁初步估计可节约80万元。
六、结语
本文利用反比函数极值的几何意义，分析出此类给定条件函数情况下，乘积函数的极值的几何意义，给出了一种钢桁梁整体大节点板材套料优化位置的选取的快捷方法，解决套料关键难题，可提高套料效率，为企业节省一部分不必要的材料成本。