0/0型未定式极限求解方法的探索

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摘要：■型未定式是极限计算中较为常见的一种极限类型。■型未定式极限的计算方法主要有约去趋向于零的公因式、等价无穷小量的替换、罗必达法则。什么情况下使用哪种方法可以使计算过程更加简单快捷是教师在教学中需要着重引导学生思考的问题。

关键词：■型未定式；趋向于零的公因式；等价无穷小；罗必达法则

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2017）20-0226-02

一元函数微积分学中包括极限、导数与微分、不定积分与定积分三大运算，其中，极限运算是最为重要也是最为基础的运算。[1]

一、约去趋向于零的公因式

对于■型未定式来说，如果求极限的是一个分式，并且分子、分母有多个因式组成，那么其中很可能存在某几个因式趋向于零。如果这些因式分别在分子和坟墓的位置并且可以约去的话，极限就会变得便于计算了。具体的做法通常有因式分解、分子或分母有理化等。

例1：求极限■■.

解：原式=■■=■■=2.

例2：求O限■■.

解：原式=■■

=■■

=■■=■.

例1通过因式分解约去了趋向于零的公因式（x+1），例2通过分子有理化约去了趋向于零的公因式x■，从而将此极限转化为更为简单的形式。

二、等价无穷小量的替换

常用的等价无穷小量有：当x0时，sinx～x，tanx～x，arcsinx～x，1-cosx～■，e■-1～x，ln（1+x）～x等.利用等价无穷小对因式整体替换往往能够将极限式转化为更为简单的形式，给计算带来便利。

例3：求极限■■[2]

解：原式=■■=■■=■

此例中如果对分子中的tanx和sinx直接使用等价无穷小量的替换，将会得到错误的结果，因为它们不是因式，使用这种方法的时候特别要注意针对因式使用等价无穷小量进行替换。

三、第一个重要极限

在两个重要极限这一部分内容中，介绍的第一个重要极限是■■=1，在实际使用中，更多的是利用这个极限式的推广形式■■=1求极限，其中，可以是一个变量也可以是某个式子。

例4：求极限■■

解：原式=■■=■■・■■=■

四、罗必达法则

罗必达法则是求解极限的一种有效方法，虽然很多■型未定式都可以使用罗必达法则求解极限，但是特别要注意表达式是否符合法则成立的条件，否则可能导致计算变得更复杂甚至得到错误的结果。此外，在一个极限的计算中，罗必达法则的使用次数没有限制，使用罗必达法则之前一定要确保该表达式符合法则成立的条件。

例5：求极限■■[3]

解：原式=■■=■■=1

再比如下面这个例子，如果只用罗必达法则计算就会很烦琐，但是将等价无穷小量的替换和罗必达法则结合在一起使用则简捷得多。

例6：求极限■■

解：原式=■■=■■=■■=■■=-■

综上所述，在求解■型未定式的极限时，应当注意先仔细观察再确定计算方法。在有些情况下，单单使用一种方法未必是最佳解法，将多种方法结合在一起使用，往往可以使得计算过程更加简捷。

参考文献：

[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京：高等教育出版社，2012.

[2]同济大学数学系.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2014.

[3]杨天明.高等数学[M].南京大学出版社，2015.