强化数学应用, 培养数学意识

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高考数学附加题特别强调了应用意识和创新意识的考查，共4道解答题．其中，必做题2小题．两个必做题的考查内容分布很广，有计数原理、概率、空间向量与立体几何、圆锥曲线与方程、数学归纳法等，共涉及考点有7个A级要求，15个B级要求．

一、圆锥曲线与方程

对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略．如：（1）在求轨迹时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的方程，写出所求的轨迹方程；（2）涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决；（3）在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形利用几何意义去解决.直线与圆锥曲线的位置关系：（1）有关直线与圆锥曲线的公共点的个数问题，应注意数形结合；（2）有关弦长问题，应注意运用弦长公式及韦达定理来解决；（3）有关垂直问题，要注意运用斜率关系及韦达定理，设而不求，简化运算．这部分考查的重点是抛物线．

【例1】如图，已知抛物线M:x2=4py(p>0)的准线为l，N为l上的一个动点，过点N作抛物线M的两条切线，切点分别为A,B，再分别过A,B两点作l的垂线，垂足分别为C,D．(1)求证：直线AB必经过y轴上的一个定点Q，并写出点Q的坐标；

(2)若ACN,BDN,ANB的面积依次构成等差数列，求此时点N的坐标．

温馨提醒：在复习这部分时，通常遇到的题目解法较多（即入口较宽）时，要注意择优．其实在处理解析几何题时，同学们主要是在“算”上的功夫不够．所谓“算”，主要讲的是算理和算法．算法是解决问题采用的计算的方法，而算理是采用这种算法的依据和原因．我们要注意培养自己的计算能力．

二、空间向量与立体几何

可以这样说：“只要建立了空间直角坐标系，剩下的便是运算了．”应用空间向量解决立体几何问题一般包括以下题型：解决空间平行与垂直、空间角度与距离问题．

【例2】如图，直三棱柱A1B1C1－ABC中， C1C=CB=CA=2，ACCB. D、E分别为棱C1C、B1C1的中点.

（1）求点E到平面ADB的距离；

（2）求二面角E－A1D－B的平面角的余弦值；

（3）在线段AC上是否存在一点F，使得EF平面A1DB？若存在，

确定其位置；若不存在，说明理由.

温馨提醒：

利用空间向量解决立体几何问题，关键是要能熟练掌握如何用空间向量来表示各种位置关系与数量关系，落脚点就在向量运算上.

三、数学归纳法

运用数学归纳法证明问题时，关键是n=k+1时命题成立的推证，此步证明要具有目标意识，注意与最终要达到的解题目标进行分析比较，以此确定和调控解题的方向，使差异逐步减小，最终实现目标完成解题．

运用数学归纳法，可以证明下列问题：与自然数n有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等．

【例3】设数列{an}满足a1＝a，an＋1＝a2n＋a1，M={a∈R|n∈N*，|an|≤2}．

（1）当a∈（－∞，－2）时，求证：aM；

（2）当a∈（0，14］时，求证：a∈M；

（3）当a∈（14，＋∞）时，判断元素a与集合M的关系，并证明你的结论．

【证明】（1）如果a2，aM．

（2） 当 0

事实上，当n=1时，|a1|=|a|≤12．此时a∈M

设n=k－1时成立（k≥2为某整数），即|ak－1|≤12，

则对n=k，|ak|≤|ak－1|2+a≤(12)2+14=12．

由归纳假设，对任意n∈N*，|an|≤12＜2，所以a∈M．

（3） 当a>14时，aM．证明如下：

对于任意n≥1，an>a>14，且an+1=a2n+a．

对于任意n≥1，an+1－an=a2n－an+a=(an－12)2+a－14≥a－14，

则an+1－an≥a－14．所以，an+1－a=an+1－a1≥n(a－14)．

当n>2－aa－14时，an+1≥n(a－14)+a>2－a+a=2，即an+1>2，因此aM．

温馨提醒：数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法．两个步骤缺一不可，第一步是递推的“基础”，第二步是递推的“依据”．第二步中归纳假设起着已知条件的作用，在n=k+1时一定要用到它，否则就不是数学归纳法，第二步的关键是“一凑假设，二凑结论”．

四、排列组合、二项式定理

对于排列组合、二项式定理的综合问题的考查，主要是在知识网络交汇处设计问题，以其他章节知识为背景，考查同学们运用多种知识处理问题的综合能力．

【例4】设数列{an}是等比数列，a1=C3m2m+3・A1m－2，公比q是(x+14x2)4的展开式中的第二项（按x的降幂排列）．（1）用n,x表示通项an与前n项和Sn；

（2）若An=C1nS1+C2nS2+…+CnnSn，用n,x表示An．

温馨提醒：由于这部分内容的课时较少，一般是将排列组合、二项式定理融入到导数，数学归纳法，概率统计等内容中去，所以同学们要注意这类交汇型问题.

五、概率统计

【例5】在1,2,3,…,9这9个自然数中，任取3个不同的数．

（1）求这3个数中至少有1个是偶数的概率；

（2）求这3个数和为18的概率；

（3）设ζ为这3个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为1,2,3，则有两组相邻的数1,2和2,3，此时ζ的值是2）．求随机变量ζ的分布列及其数学期望Eζ．

【解】（1）记“这3个数至少有一个是偶数”为事件A，

则P（A）=C14C25+C24C15+C34C05C39=3742；

（2）记“这3个数之和为18”为事件B,考虑三数由大到小排列后的中间数只有可能为5、6、7、8，分别为459，567，468，369，279，378，189七种情况，所以P(B)=7C39=112；

（3）随机变量ζ的取值为0,1,2,ζ的分布列为

ζ０12

P51212112

ζ的数学期望为Eζ=0×512+1×12+2×112=23．

温馨提醒：概率期望方差对于实际决策问题有着极大的意义．离散型随机变量期望反映的是实际问题随机变量取值的平均水平；方差反映的是随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度．决策方案的最佳选择是将数学概率最大（最小）或数学期望最大的方案作为最佳方案加以决策．如果各种方案的数学期望相同时，则应从它们的数学方差来决择决策方案，此时最佳方案应选择方差最小的那一种．

（作者：严循跃，江苏省如皋中学)