不等式证明方法选讲

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摘 要：不等式是中学数学教学中的重点与难点，本文系统介绍了九种不等式的证明方法，并通过一些特殊例题的讲解使证明方法更易于学生接受。

关键词：比较法；分析法；综合法；反证法；放缩法；数学归纳法；换元法；基本不等式；导数法

不等式是中学数学教学中的重点与难点，因此在历年高考复习中颇令师生们为之头疼。由于不等式的形式各异，证明没有固定的模式模仿，并且技巧多样，方法灵活多变，因此熟练掌握不等式的证明是中学数学教学的重难点之一。这里精选了九种不同方法对不等式证明进行了详细讲解和研究。

一、比较法

二、分析法

分析法的思路是逆向思维，用分析法证明必须从结论出发，倒着分析，寻找结论成立的充要条件。应用分析法证明问题时要严格按照分析法的语言表达，下一步是上一步的充要条件。

需要注意的是：运用分析法时，当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过程中所需的知识不太明确、具体时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值的不等式，常考虑用分析法。

三、综合法

从已知或证明过的不等式出发，根据不等式的性质及公理推导出欲证的不等式，这种证明方法叫做综合法。

四、反证法

从命题否定的结论出发，经过推理论证，得出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的，这种证明方法叫做反正法。用反证法证明不等式时，必须将命题结论的反面的各种情形一一推出矛盾。

反证法证明一个命题的思路及步骤：

（1）假定命题的结论不成立。（2）从假设出发进行推理，在推理中出现下列情况之一：与已知条件矛盾；与公理或定理矛盾。（3）由于上述矛盾的出现，可以肯定原来的假设“结论不成立”是错误的。（4）肯定原来命题的结论是正确的。

如果待证命题是否定性命题或唯一性命题或以“至多”“至少”等方式给出，一般要考虑用反证法。

五、放缩法

放缩法就是在证明过程中，利用不等式的传递性，作适当的放大或缩小，证明比原不等式更好的不等式来代替原不等式的证明。放缩法的目的性强，必须恰到好处，同时在放缩时必须时刻注意放缩的跨度，放不能过头，缩不能不及。否则不能达到目的。

在证明过程中，适当地进行放缩，可以化繁为简、化难为易，达到事半功倍的效果。但放缩的范围较难把握，常常出现放缩后得不出结论或得到相反的现象。因此，使用放缩法时，如何确定放缩目标尤为重要。要想正确确定放缩目标，就必须根据欲证结论，抓住题目的特点，掌握放缩技巧，真正做到弄懂弄通，还要根据不同题目的类型，采用恰到好处的放缩方法，才能把题解活，从而培养和提高自己的思维和逻辑推理能力，分析问题和解决问题的能力。

六、数学归纳法

当遇到与正整数n有关的不等式证明，应用其他办法不容易证时，可以考虑采用数学归纳法。

用数学归纳法证明不等式的关键是由n=k成立，推证n=k+1时也成立，证明时用上归纳假设后，可以采用分析法、比较法、综合法、放缩法等证明。

七、换元法

所谓“换元法”，就是根据不等式的结构特征，选择适当的变量代换，从而化繁为简，或实现某种转化，以便证题。其换元的实质是转化，关键是构造和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。

八、基本不等式

创造基本不等式的条件，护理拆分项或配凑项是常用技巧，其中拆与凑的目的在于满足基本不等式条件，通常是考虑分母的代数式，考虑将整式拆分与配凑成与分母有关的式子与常数的和。

九、导数法

利用导数法证明不等式f（x）>g（x）在区间D上恒成立的基本方法是构造函数h（x）=f（x）-g（x），然后根据函数的单调性，或者函数的最值证明函数h（x）>0，其中一个重要技巧就是找到函数h（x）什么时候可以等于0，这往往就是解决问题的一个突破口。

总之，不等式在现实社会与高考数学中的重要性毋庸置疑，此外在不等式的研究中能让我们锻炼自己的解题能力，数学思维能力，体验解决问题的乐趣与成就感。上面介绍的九种方法都具有很强的针对性，不能普遍使用，因此选择方法之前要慎重考虑，找出问题的显著特点，根据特点对症下药，才能快速准确地解决问题。这就要求学生平时多练多想，只有熟练了，才能够信手拈来。

（作者单位：安徽省霍邱县第一中学）