例谈数形结合思想在中学数学中的应用

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【摘要】充分应用数形结合寻求解题思路，化难为易、化繁为简，化抽象为直观，从而解决数学中一些较困难的问题。本文从与方程有关的问题；与不等式有关的问题；与最值有关的问题；与函数有关的问题；与解析几何有关的问题几个角度阐述了数形结合思想在中学数学中的应用。

【关键词】数形结合 抽象 直观

【中图分类号】G623.5 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）10-0120-02

数形结合就是利用图像或数学结果的几何意义，将数的问题与某些图形结合起来，利用几何直观性，再辅以计算，求出正确答案的方法。每年高考都有填空题、选择题、解答题可以用数形结合思想解决，既简捷又迅速。

数形结合包括“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其中以形助数是重点，本文试结合中学教材的实际情况，举例说明“以形助数”在解决问题中的一些妙用。

一、与方程有关的问题

例1.求方程3x=2-x的近似解

分析：求方程的解就是求函数y=3x与y=2-x的图像的交点的横坐标。作出这两个函数的图，可以看出方程的近似解为x≈0.4.

例2.设方程|x2-1|=k+1，试讨论k取不同范围的值时其不同解的个数的情况.

分析：方程解的个数就是求函数y1=|x2-1|与y2=k+1图像交点个数的情况，因函数y2=k+1表示平行于x轴的所有直线，作出两个函数图像，可以直观看出：

①当K

②当k=-1时，y1与y2有两个交点，原方程有两个不同的解；

③当-1

④当k=0时，y1与y2有三个交点，原方程不同解的个数有三个；

⑤当k>0时y1与y2有两个交点，原方程不同解的个数有两个.

二、与不等式有关的问题

例3.解不等式

分析：此问题可看成求，使函数的图像在的上方的x的取值集合。作出函数图像，得到四个不同的交点，横坐标分别为：

而当x在区间， 内时，的图像都在的图像上方，所以可得到原不等式的解集为：

三、与最值有关的问题

例4. 已知点P（x，y）在线性区域内，求①Z= ；②Z=的值域

分析：由线性规划可知P（x，y）在RtOAB内（包括边界），

① Zmin实质上是点P（4，3）到直线AB的距离；

② Z的值域实质上是直线PM斜率的取值范围[0，+∞） .

四、与函数有关的问题

例5.已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时， ，若函数y=f（x）-a在区间[-3，4]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是 .

分析：作出函数，x∈[0，3）的图像，

可见函数y=f（x）-a在 [-3，4]上有10个零点，既y=f（x）的图像和直线y=a在[-3，4]上有10个交点。由T=3，则y=a与y=f（x）的图像在[0，3）上应有4个交点。故

五、与解析几何有关的问题

例6. 若曲线C1：x2+y2-2x=0与曲线C2：y（y-mx-m）=0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是（ ）

数形结合思想，就是将抽象的数学语言同直观的图形相结合，实现抽象的概念与具体形象的联系和转化，使数与形的信息相互渗透，可以开拓我们的解题思路，使许多数学问题简单化.

参考文献：

[1]杜金河《浅谈数形结合思想在中学数学中的五点应用》。

[2]《热点重点难点专题透析》。

[3]周义学 《数形结合思想在中学数学中的应用》。