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摘要:本文先对三角形各心概念进行阐述;再探究各心在三角形中的位置分布;最后提出并证明猜想“两心重合的三角形是等边三角形”。
关键词:三角形;重心;内心;垂心;外心;旁心;界心
引言:三角形的心是三角形的重要几何点。目前对三角形心的研究大致有四个方向:三线共点问题[1]、三角形各心性质[2]、三角形各心坐标及心距公式[4]、欧拉定理―三心共线。
1三角形各心的概念
定理1:三角形的三条中线、三条高线、三条内角平分线、三边垂直平分线、一条内角平分线和其它两个角的外角平分线、三边周界中线[5]都交于一点。
定义:三角形的重心、垂心、内心、外心、旁心、界心分别是此三角形三条中线、三条高线、三条内角平分线、三边垂直平分线、一条内角平分线和其它两个角的外角平分线、三边周界中线所交成的点。
2各心在三角形中的位置分布
定理2:重心、内心与界心一定在三角形内部。
事实上据公理“平面内两直线被第三条直线所截,若同旁内角之和不等于二直角,则两直线必相交;且交点在内角和小于两直角的一侧。”定理成立是显然的。
定理3:旁心一定在三角形外部。
事实上:两外角平分线一定交于三角形的外部。
定理4:外心可以在三角形内部、外部或边上;垂心可以在三角形内部、外部或顶点。
事实上:锐角三角形的外心与垂心在三角形内部;钝角三角形的外心与垂心在三角形外部;直角三角形的外心在斜边中点处,垂心与直角顶点重合。
推论:三角形某心在其周边上,则此三角形一定是直角三角形;且这样的心只能是在直角三角形斜边中点的外心,或者与三角形直角顶点重合的垂心。
3定理5:有两心重合的三角形是等边三角形。
引理:对同一个三角形,旁心与其它几心均不可能重合。
由定理3:三角形的旁心只可能与外心与垂心重合。事实上是不可能做到的。以外心为例,如图1,设P为ΔABC的其一旁心,不妨设点P为∠B与∠C的外角平分线的交点。则过P作垂直于AB、AC的直线。交点均在线段AB、AC的延长线上。即P点不可能是此三角形的外心。
因此证明有两心重合的三角形是等边三角形,只需要证:外心、内心、垂心、重心、界心的两两重合定理均成立即可。事实上:
(1)外心与内心重合
如图2,若ΔABC的外心与内心重合,
则其内切圆和外接圆是同心圆。
据垂径定理,以及全等三角形性质即知:
ΔABC是等边三角形;
(2)内心与垂心重合
如图3,设ΔABC三条高线交于一点H,又H是内心
∠ADB=∠ADC=90°,∠BAD=∠CAD
ΔABCΔACD从而AB=AC;
同理:AB=BCΔABC是等边三角形;
(3)垂心与界心重合
如图3,设ΔABC三条周界中线交于点K,由界心性质:
AB+BD=AB+AE=12s,BD=AE又K是ΔABC的垂心,∠AEB=∠ADB=90°
又∠AKE=∠BKD,ΔAKEΔBKDBE=AD,∠CAD=∠CBE.
ΔADCΔBEC从而AC=BC.同理可得:AB=AC.
ΔABC是等边三角形;
(4)界心与重心重合
如图3,设ΔABC三条中线交于一点G,D、E、F是各边的中点,又G是界心,
AB+BD=AC+DC,AB+AE=BC+ECAB=AC,AB=BC\
ΔABC是等边三角形;
(5)重心与外心重合
如图3,设ΔABC三条中线交于一点G,D、E、F是各边的中点,
又G是外心,AG=BG∠BAD=∠ABE,又AF=BFΔAFGΔBFG
∠AFC=∠BFC=90°CF垂直平分线段ABAC=BC
同理可证:BE垂直平分线段AC,从而AB=BC.ΔABC是等边三角形。
综上,有两心重合的三角形是等边三角形。
参考文献
[1]樊群涛三角形“三心”的完美统一[J]中学生数学,2005,22
[2]李明、严忠三角形各心的性质[J]中学数学教学,1993,1:11-14
[3]饶克勇数形结合的魅力―三角形五心坐标及其应用[J]昭通师专学报,1993,15(4):20-38
[4]冯跃峰三角形的“心距”计算公式[J]中学数学教学(湖北)1995,3
[5]张学哲三角形周界中线[J]数学通报,1995,(4)